Sabendo que T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma transformação linear e T(1,1)=(3,-1) e T(1,0)= (0,2), é correto afirmar que:
(a) T(5,7)=(11,-21)
(b) T(5,7)=(15,-7)
(c) T(5,7)=(7,-15)
(d) T(5,7)=(21,-11)

Passo 1

O enunciado diz que T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} é linear e fornece
T(1,1) = (3,-1),
T(1,0) = (0,2).
Queremos encontrar T(5,7). Para isso, vamos usar a linearidade de T e obter primeiro as imagens dos vetores da base canônica.

Passo 2

Identificamos
T(1,0) = T(e_1) = (0,2).

Passo 3

Como T é linear,
T(1,1) = T(e_1 + e_2) = T(e_1) + T(e_2).
Logo,
T(e_2) = T(1,1) - T(e_1) = (3,-1) - (0,2) = (3,-3).

Passo 4

Usando a linearidade, para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 temos
T(x,y) = x\,T(e_1) + y\,T(e_2).
Substituindo T(e_1) e T(e_2),
T(x,y) = x\,(0,2) + y\,(3,-3) = (3y,\;2x - 3y).

Passo 5

Agora avaliamos em (5,7):
T(5,7) = (3\cdot7,\;2\cdot5 - 3\cdot7) = (21,\;10 - 21) = (21,-11).
Comparando com as alternativas, a correta é a (d).

Resposta

(d) T(5,7) = (21,-11)

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