Qual dos subconjuntos abaixo é uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{3} ?
(a) A=\{(1,1,2),(2,3,12),(-3,-3,-6)\}
(b) B=\{(1,0,0),(0,1,0)\}
(c) C=\{(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2)\}
(d) D=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\}

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual dos subconjuntos dados é uma base de \mathbb{R}^{3}. Lembrando que uma base de \mathbb{R}^{3} é um conjunto de três vetores que sejam linearmente independentes e gerem todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Analisando A=\{(1,1,2),\,(2,3,12),\,(-3,-3,-6)\}, calculemos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\\\ 1 & 3 & -3\\\\ 2 & 12 & -6 \end{pmatrix}.
Usando cofactores,
\det(M) =1\bigl(3\cdot(-6)-(-3)\cdot12\bigr) -2\bigl(1\cdot(-6)-(-3)\cdot2\bigr) +(-3)\bigl(1\cdot12-3\cdot2\bigr) =18-0-18=0.
Como \det(M)=0, os vetores são linearmente dependentes e A não é base.

Passo 3

Para B=\{(1,0,0),(0,1,0)\} temos apenas dois vetores, logo não podem gerar todo \mathbb{R}^{3}.
Para C=\{(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2)\} há o vetor nulo, o que implica dependência linear. Portanto nem B nem C são bases.

Passo 4

Considere D=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\}. Formemos a matriz cujas colunas são esses vetores:
N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante,
\det(N) =1\begin{vmatrix}0&1\\\ 0&0\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1&1\\\ 1&0\end{vmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) =0 -1\cdot(-1)=1\neq0.
Como \det(N)\neq0, os vetores são linearmente independentes e, sendo três em \mathbb{R}^3, geram o espaço. Logo D é base.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados