Qual dos subconjuntos abaixo é uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{3} ?
(a) A=\{(1,1,2),(2,3,12),(-3,-3,-6)\}
(b) B=\{(1,0,0),(0,1,0)\}
(c) C=\{(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2)\}
(d) D=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\}
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual dos subconjuntos dados é uma base de \mathbb{R}^{3}. Lembrando que uma base de \mathbb{R}^{3} é um conjunto de três vetores que sejam linearmente independentes e gerem todo \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Analisando A=\{(1,1,2),\,(2,3,12),\,(-3,-3,-6)\}, calculemos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Como \det(M)=0, os vetores são linearmente dependentes e A não é base.
Passo 3
Para B=\{(1,0,0),(0,1,0)\} temos apenas dois vetores, logo não podem gerar todo \mathbb{R}^{3}.
Para C=\{(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2)\} há o vetor nulo, o que implica dependência linear. Portanto nem B nem C são bases.
Passo 4
Considere D=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\}. Formemos a matriz cujas colunas são esses vetores: