Quais das funções T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} abaixo NÃO é uma transformação linear?
(a) T(x, y, z)=(2 x, x+y, y-z)
(b) T(x, y, z)=(x, 2 y, 3 z)
(c) T(x, y, z)=\left(2 y, 3 x, z^{2}\right)
(d) T(a, b, c)=(-c,-b,-a)

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das aplicações
\displaystyle T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
dadas por (a), (b), (c) e (d) não são transformações lineares. O conteúdo é transformação linear em espaços vetoriais de dimensão finita e vamos precisar da definição e dos testes de aditividade e homogeneidade para resolver.

Passo 2

Lembrando a definição: uma aplicação
\displaystyle T\colon V\to W
entre espaços vetoriais é linear se, e somente se, para todo u,v\in V e todo escalar \alpha, vale
T(u+v)=T(u)+T(v) \quad\text{e}\quad T(\alpha\,u)=\alpha\,T(u).
Uma forma prática é verificar se cada componente de T(x,y,z) é combinação linear homogênea das entradas, sem termos quadráticos ou constantes.

Passo 3

Analisando as alternativas (a), (b) e (d):
  • Em (a)
    \displaystyle T(x,y,z)=(2x,\;x+y,\;y-z)
    cada componente é combinação linear de x,y,z sem termo independente, logo pode ser escrita como multiplicação por uma matriz 3\times3. Assim satisfaz aditividade e homogeneidade.
  • Em (b)
    \displaystyle T(x,y,z)=(x,\;2y,\;3z)
    é a aplicação dada por uma matriz diagonal \mathrm{diag}(1,2,3), portanto linear.
  • Em (d)
    \displaystyle T(a,b,c)=(-c,\;-b,\;-a)
    também cada componente é combinação linear de (a,b,c) com coeficientes constantes, sem termos não lineares, portanto é linear.

Passo 4

Na alternativa (c)
\displaystyle T(x,y,z)=\bigl(2y,\;3x,\;z^2\bigr)
o terceiro componente é z^2, que não é homogêneo de grau 1. Basta verificar a homogeneidade: para um escalar \alpha,
T\bigl(\alpha(x,y,z)\bigr) =\bigl(2\alpha y,\;3\alpha x,\;(\alpha z)^2\bigr) =(2\alpha y,\;3\alpha x,\;\alpha^2 z^2) \neq \alpha\,(2y,3x,z^2)
quando \alpha\neq0,1. Logo falha em T(\alpha u)=\alpha T(u) e não é linear.

Passo 5

Concluímos que apenas a aplicação da alternativa (c) não satisfaz as propriedades de transformação linear.

Resposta

(c)

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