Quais das funções
abaixo NÃO é uma transformação linear?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das aplicações
dadas por (a), (b), (c) e (d) não são transformações lineares. O conteúdo é transformação linear em espaços vetoriais de dimensão finita e vamos precisar da definição e dos testes de aditividade e homogeneidade para resolver.
dadas por (a), (b), (c) e (d) não são transformações lineares. O conteúdo é transformação linear em espaços vetoriais de dimensão finita e vamos precisar da definição e dos testes de aditividade e homogeneidade para resolver.
Passo 2
Lembrando a definição: uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, e somente se, para todo e todo escalar
, vale
entre espaços vetoriais é linear se, e somente se, para todo
Uma forma prática é verificar se cada componente de
é combinação linear homogênea das entradas, sem termos quadráticos ou constantes.
Passo 3
Analisando as alternativas (a), (b) e (d):
- Em (a)
cada componente é combinação linear desem termo independente, logo pode ser escrita como multiplicação por uma matriz . Assim satisfaz aditividade e homogeneidade. - Em (b)
é a aplicação dada por uma matriz diagonal, portanto linear. - Em (d)
também cada componente é combinação linear decom coeficientes constantes, sem termos não lineares, portanto é linear.
Passo 4
Na alternativa (c)
o terceiro componente é , que não é homogêneo de grau 1. Basta verificar a homogeneidade: para um escalar
,
o terceiro componente é
quando
. Logo falha em
e não é linear.
Passo 5
Concluímos que apenas a aplicação da alternativa (c) não satisfaz as propriedades de transformação linear.
Resposta
(c)