Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
(b) Se sumn=1^infty an diverge, então lim n infty an neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre séries infinitas, especificamente se, quando uma série sumn=1^infty an não converge (ou seja, diverge), isso significa que o limite dos termos an quando n vai para o infinito não é zero. Para resolver, precisamos entender um pouco sobre séries e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral) em séries. Esse teste diz o seguinte:
  • Se limn to infty an neq 0, então a série sumn=1^infty an diverge.
Isso significa que, se o termo geral da série não se aproxima de zero, a soma da série não chega a um valor fixo.

Passo 3

Mas atenção! O teste da divergência dá uma condição: se o limite não é zero, a série diverge. Porém, o contrário não é necessariamente verdadeiro. Ou seja:
  • Se limn to infty an = 0, isso não garante que a série sumn=1^infty an converge.
Um exemplo clássico disso é a Série Harmônica: sumn=1^infty 1n. Aqui, limn to infty 1n = 0, mas a série divege.

Resposta

Falso. Mesmo que sumn=1^infty an diverja, é possível que limn to infty an = 0, como no caso da série harmônica.

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