Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(i) Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn são convergentes, com an >= 0 e bn >= 0, forall n, então sumn=1^infty an bn converge.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas séries de termos não negativos
sumn=1^inftyan e sumn=1^inftybn que convergem, a série dos produtos termo a termo
sumn=1^inftyanbn também converge.
O conteúdo aqui é teste de comparação e uso de desigualdade algébrica para termos não negativos.

Passo 2

Como sum an e sum bn convergem com an>=0, bn>=0, segue que anto0 e bnto0.
Logo, existe N tal que para todo n>= N temos an<=1 e bn<=1.
Isso implica
an^2<= an, bn^2<= bn,forall n>= N

Passo 3

Pela comparação com as séries originais, como 0<= an^2<= an e 0<= bn^2<= bn para n>= N, concluímos que
sumn=1^inftyan^2<infty e sumn=1^inftybn^2<infty

Passo 4

Usamos a desigualdade de médias (ou simplesmente 2xy<= x^2+y^2 para x,y>=0):
2,anbn;<=;an^2+bn^2 Longrightarrow anbn;<=;tfrac12l(an^2+bn^2r)
Somando sobre n, obtemos
sumn=1^inftyanbn <= tfrac12l(sumn=1^inftyan^2+sumn=1^inftybn^2r) <infty
Portanto sum anbn converge por comparação.

Resposta

Verdadeiro (V)

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