Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(i) Se
e
são convergentes, com
e
, então
converge.
(i) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas séries de termos não negativos
e
que convergem, a série dos produtos termo a termo
também converge.
O conteúdo aqui é teste de comparação e uso de desigualdade algébrica para termos não negativos.
O conteúdo aqui é teste de comparação e uso de desigualdade algébrica para termos não negativos.
Passo 2
Como
e
convergem com
,
, segue que
e
.
Logo, existe tal que para todo
temos
e
.
Isso implica
Logo, existe
Isso implica
Passo 3
Pela comparação com as séries originais, como
e
para
, concluímos que
Passo 4
Usamos a desigualdade de médias (ou simplesmente
para
):
Somando sobre
, obtemos
Portanto
converge por comparação.
Resposta
Verdadeiro (V)