Falso ou verdadeiro? Justifique.
(a) Se é diferenciável em , então as derivadas parciais e existem em .
(b) Toda função diferenciável é contínua.
(c) Toda função contínua é diferenciável.
(d) Se tem derivadas parciais e no ponto , então é contínua em .
(e) Se uma função tem derivadas parciais e contínuas, então é diferenciável.
(f) Toda função diferenciável possui derivadas parcias de ordem contínuas.
(g) Se as derivadas parciais e existem em , então é diferenciável em .
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se cada afirmação sobre diferenciabilidade, existência de derivadas parciais e continuidade é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta. O tema é cálculo de funções de múltiplas variáveis, envolvendo definições de diferenciabilidade em , existência das derivadas parciais e em , e relações entre diferenciabilidade e continuidade.
Passo 2
(a) “Se é diferenciável em , então as derivadas parciais e existem em .”
Definição: é diferenciável em se há um mapa linear tal que
Nesse caso e são exatamente as derivadas parciais em . Logo, diferenciabilidade implica existência de e .
Resposta: Verdadeiro.
Passo 3
(b) “Toda função diferenciável é contínua.”
Se é diferenciável em , o termo de erro força
ou seja, é contínua em .
Resposta: Verdadeiro.
Passo 4
(c) “Toda função contínua é diferenciável.”
Contra-exemplo em duas variáveis:
que é contínua em todo ponto, mas não tem derivada em (o mesmo vale restringindo a reta ). Logo, continuidade não garante diferenciabilidade.
Resposta: Falso.
Passo 5
(d) “Se
Pode-se verificar que existem, mas não é zero (por exemplo, ao longo de vale ). Logo, as parciais existem em sem ser contínua lá.
Resposta: Falso.
Passo 6
(e) “Se uma função tem derivadas parciais e contínuas, então é diferenciável.”
Este é um teorema padrão de cálculo em várias variáveis: se e existem num vizinhança de e são contínuas em , então é diferenciável em .
Resposta: Verdadeiro.
Passo 7
(f) “Toda função diferenciável possui derivadas parciais de primeira ordem contínuas.”
Uma função pode ser diferenciável sem que suas derivadas parciais sejam contínuas. Um exemplo é
que é diferenciável em (0,0) mas cujas parciais não são contínuas lá.
Resposta: Falso.
Passo 8
(g) “Se as derivadas parciais fx e fy existem em P0, então f é diferenciável em P0.”
Já vimos em (d) e em outros exemplos que existência isolada de parciais em um ponto não garante o comportamento linear global necessário à diferenciabilidade.
Resposta: Falso.