1. Falso ou verdadeiro? Justifique.
    (a) Se f é diferenciável em P0, então as derivadas parciais fx e fy existem em P0.
    (b) Toda função diferenciável é contínua.
    (c) Toda função contínua é diferenciável.
    (d) Se z=f(x, y) tem derivadas parciais fx e fy no ponto P0, então f é contínua em P0.
    (e) Se uma função z=f(x, y) tem derivadas parciais fx e fy contínuas, então f é diferenciável.
    (f) Toda função diferenciável possui derivadas parcias de 1^a ordem contínuas.
    (g) Se as derivadas parciais fx e fy existem em P0, então f é diferenciável em P0.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se cada afirmação sobre diferenciabilidade, existência de derivadas parciais e continuidade é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta. O tema é cálculo de funções de múltiplas variáveis, envolvendo definições de diferenciabilidade em P0, existência das derivadas parciais fx e fy em P0, e relações entre diferenciabilidade e continuidade.

Passo 2

(a) “Se f é diferenciável em P0, então as derivadas parciais fx e fy existem em P0.”
Definição: f é diferenciável em P0 se há um mapa linear L(h,k)=A,h+B,k tal que
f(P0+(h,k)) - f(P0) - L(h,k) = o(raizh^2+k^2)
Nesse caso A e B são exatamente as derivadas parciais em P0. Logo, diferenciabilidade implica existência de fx(P0) e fy(P0).
Resposta: Verdadeiro.

Passo 3

(b) “Toda função diferenciável é contínua.”
Se f é diferenciável em P0, o termo de erro o(raizh^2+k^2) força
lim(h,k)to(0,0)l[f(P0+(h,k)) - f(P0)r] = 0,
ou seja, f é contínua em P0.
Resposta: Verdadeiro.

Passo 4

(c) “Toda função contínua é diferenciável.”
Contra-exemplo em duas variáveis:
f(x,y) = |x|,
que é contínua em todo ponto, mas não tem derivada em x=0 (o mesmo vale restringindo a reta y=0). Logo, continuidade não garante diferenciabilidade.
Resposta: Falso.

Passo 5

(d) “Se
Pode-se verificar que existem, mas não é zero (por exemplo, ao longo de vale ). Logo, as parciais existem em sem ser contínua lá.
Resposta: Falso.

Passo 6

(e) “Se uma função z=f(x,y) tem derivadas parciais fx e fy contínuas, então f é diferenciável.”
Este é um teorema padrão de cálculo em várias variáveis: se fx e fy existem num vizinhança de P0 e são contínuas em P0, então f é diferenciável em P0.
Resposta: Verdadeiro.

Passo 7

(f) “Toda função diferenciável possui derivadas parciais de primeira ordem contínuas.”
Uma função pode ser diferenciável sem que suas derivadas parciais sejam contínuas. Um exemplo é
g(x,y)= x^2yx^4+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0),
que é diferenciável em (0,0) mas cujas parciais não são contínuas lá.
Resposta: Falso.

Passo 8

(g) “Se as derivadas parciais fx e fy existem em P0, então f é diferenciável em P0.”
Já vimos em (d) e em outros exemplos que existência isolada de parciais em um ponto não garante o comportamento linear global necessário à diferenciabilidade.
Resposta: Falso.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso
(g) Falso

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