Em um dos famosos experimentos de hibridização de Mendel, foram obtidas 8023 ervilhas descendentes, e 24,94% delas tinham flores verdes. As outras tinham flores brancas. Considere um teste de hipótese que use o nível de significância de 0,05 para testar a afirmação de que as ervilhas com flores verdes ocorrem a uma taxa de
(Resolver utilizando o método tradicional (região crítica) e o método do p-valor).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um experimento de Mendel onde observamos 8023 ervilhas descendentes. Destas, 24,94% tinham flores verdes, e o restante flores brancas. A gente quer testar a hipótese de que a taxa de ervilhas com flores verdes é de 25% usando um nível de significância de 0,05. Para isso, vamos usar duas abordagens: o método tradicional (região crítica) e o método do p-valor. Vamos precisar de noções de teste de hipóteses para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer nossas hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): A proporção de ervilhas com flores verdes é 25%, ou seja, $ p = 0,25 $.
- Hipótese Alternativa (H₁): A proporção é diferente de 25%, ou seja, $ p \neq 0,25 $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se podemos usar o teste z para proporções. As condições para isso são:
- A amostra deve ser aleatória.
- O tamanho da amostra deve ser grande o suficiente. Especificamente, $ np_0 \geq 10 $ e $ n(1 - p_0) \geq 10 $.
Vamos calcular:
- $ np_0 = 8023 \times 0,25 = 2005,75 $
- $ n(1 - p_0) = 8023 \times 0,75 = 6017,25 $
Ambos são bem maiores que 10, então podemos usar o teste z.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste z. A fórmula é:
Onde:
- $ \hat{p} = 0,2494 $
- $ p_0 = 0,25 $
- $ n = 8023 $
Calculando o denominador:
Agora, calculando z:
Passo 5
Método Tradicional (Região Crítica)
Para um teste bilateral com nível de significância de 0,05, usamos os valores críticos de z que correspondem a 2,5% de cada lado da distribuição normal.
Os valores críticos são aproximadamente $ z = -1,96 $ e $ z = 1,96 $.
Agora, comparamos nosso z calculado (-0,124) com esses valores:
- Se $ z < -1,96 $ ou $ z > 1,96 $, rejeitamos H₀.
- Caso contrário, não rejeitamos H₀.
No nosso caso, -0,124 está entre -1,96 e 1,96, então não rejeitamos a hipótese nula.
Método do p-valor
O p-valor representa a probabilidade de obtermos um valor de teste tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Calculamos o p-valor para nosso z:
Comparando com o nível de significância de 0,05:
- Se $ p-valor < 0,05 $, rejeitamos H₀.
- Caso contrário, não rejeitamos H₀.
Como 0,9012 > 0,05, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com ambos os métodos, tradicional e do p-valor, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de ervilhas com flores verdes difere de 25%.