A tecnologia está mudando drasticamente a forma como nos comunicamos. Em 1997, uma pesquisa em 880 domicílios americanos mostrou que 149 deles usavam e-mail. Use esses resultados amostrais para testar a afirmativa de que, em mais de
dos domicílios americanos, usa-se o e-mail. Use o nível de significância de 0,1 (Resolver utilizando o método tradicional (região crítica) e o método do p-valor).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um cenário onde, em 1997, uma pesquisa com 880 domicílios americanos descobriu que 149 deles usavam e-mail. A tarefa aqui é testar a afirmação de que mais de 15% dos domicílios americanos utilizam e-mail. Para isso, vamos usar um nível de significância de 0,1 (ou 10%). O conteúdo envolvido aqui é teste de hipóteses para proporções. Vamos precisar entender como montar as hipóteses, calcular a estatística de teste e, depois, usar os métodos tradicional (região crítica) e do p-valor para chegar à conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. Em testes de hipóteses para proporções, temos a hipótese nula (
) e a hipótese alternativa (
).
- Hipótese nula (
): A proporção de domicílios que usam e-mail é igual a 15%, ou seja, $ p = 0,15 $. - Hipótese alternativa (
): A proporção de domicílios que usam e-mail é maior que 15%, ou seja, $ p > 0,15 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção amostral ($ \hat{p} $) com os dados fornecidos. A proporção amostral é o número de sucessos (domicílios que usam e-mail) dividido pelo total de observações.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão ($ SE $) mede a variabilidade da proporção amostral e é calculado usando a fórmula:
Onde:
- $ p_0 = 0,15 $ (proporção hipotética)
- $ n = 880 $ (tamanho da amostra)
Passo 5
Agora, vamos calcular o estatístico de teste ( $ z $ ). Ele nos diz quantos desvios padrão a proporção amostral está da proporção hipotética.
Passo 6
Vamos usar o método tradicional (região crítica) para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Com um nível de significância de 0,1 e sendo um teste unilateral (queremos saber se é maior que 15%), o valor crítico $ z_{\alpha} $ corresponde a 1,28 (consultando uma tabela $ z $ para $ \alpha = 0,1 $).
Como nosso $ z $ calculado (1,608) é maior que o valor crítico (1,28), rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Agora, vamos usar o método do p-valor. O p-valor é a probabilidade de observarmos um valor tão extremo quanto o nosso $ z $ calculado, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira.
Para $ z = 1,608 $, o p-valor correspondente é aproximadamente 0,054 (ou 5,4%).
Como o p-valor (0,054) é menor que o nível de significância (0,1), rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos dois métodos utilizados, concluímos que há evidências suficientes para afirmar que mais de 15% dos domicílios americanos utilizam e-mail, usando um nível de significância de 10%.