A tecnologia está mudando drasticamente a forma como nos comunicamos. Em 1997, uma pesquisa em 880 domicílios americanos mostrou que 149 deles usavam e-mail. Use esses resultados amostrais para testar a afirmativa de que, em mais de 15 % dos domicílios americanos, usa-se o e-mail. Use o nível de significância de 0,1 (Resolver utilizando o método tradicional (região crítica) e o método do p-valor).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um cenário onde, em 1997, uma pesquisa com 880 domicílios americanos descobriu que 149 deles usavam e-mail. A tarefa aqui é testar a afirmação de que mais de 15% dos domicílios americanos utilizam e-mail. Para isso, vamos usar um nível de significância de 0,1 (ou 10%). O conteúdo envolvido aqui é teste de hipóteses para proporções. Vamos precisar entender como montar as hipóteses, calcular a estatística de teste e, depois, usar os métodos tradicional (região crítica) e do p-valor para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. Em testes de hipóteses para proporções, temos a hipótese nula ( H0) e a hipótese alternativa ( Ha).
  • Hipótese nula ( H0): A proporção de domicílios que usam e-mail é igual a 15%, ou seja, $ p = 0,15 $.
  • Hipótese alternativa ( p = 0,15 ): A proporção de domicílios que usam e-mail é maior que 15%, ou seja, $ p > 0,15 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção amostral ($ \hat{p} $) com os dados fornecidos. A proporção amostral é o número de sucessos (domicílios que usam e-mail) dividido pelo total de observações.
p

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão ($ SE $) mede a variabilidade da proporção amostral e é calculado usando a fórmula:
SE
Onde:
  • $ p_0 = 0,15 $ (proporção hipotética)
  • $ n = 880 $ (tamanho da amostra)
SE = raizp0 (1 - p0)n

Passo 5

Agora, vamos calcular o estatístico de teste ( $ z $ ). Ele nos diz quantos desvios padrão a proporção amostral está da proporção hipotética.
z

Passo 6

Vamos usar o método tradicional (região crítica) para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Com um nível de significância de 0,1 e sendo um teste unilateral (queremos saber se é maior que 15%), o valor crítico $ z_{\alpha} $ corresponde a 1,28 (consultando uma tabela $ z $ para $ \alpha = 0,1 $).
Como nosso $ z $ calculado (1,608) é maior que o valor crítico (1,28), rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Agora, vamos usar o método do p-valor. O p-valor é a probabilidade de observarmos um valor tão extremo quanto o nosso $ z $ calculado, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira.
Para $ z = 1,608 $, o p-valor correspondente é aproximadamente 0,054 (ou 5,4%).
Como o p-valor (0,054) é menor que o nível de significância (0,1), rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dois métodos utilizados, concluímos que há evidências suficientes para afirmar que mais de 15% dos domicílios americanos utilizam e-mail, usando um nível de significância de 10%.

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