Seja uma variável aleatória contínua com densidade uniforme no intervalo de ( -\theta, \theta ). Para da item abaixo, calcule o valor de \theta de forma a satisfazer a condição dada.
\mathrm{P}(\mathrm{X}<1 / 2)=3 / 4

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma variável aleatória contínua X com distribuição uniforme em (-\theta,\theta). O suporte tem comprimento 2\theta e a densidade é
f(x)=\frac{1}{2\theta},\quad x\in(-\theta,\theta).
Queremos escolher \theta de modo que
\mathrm{P}\bigl(X<\tfrac12\bigr)=\tfrac34.

Passo 2

Para calcular \mathrm{P}(X<\tfrac12), há dois casos possíveis:
  • Se \theta<\tfrac12, então \tfrac12 está fora do suporte e \mathrm{P}(X<\tfrac12)=1, o que não pode ser \tfrac34.
  • Portanto, deve ser \theta>\tfrac12, e aí \tfrac12 está dentro do intervalo (-\theta,\theta).

Passo 3

Quando \theta>\tfrac12,
\mathrm{P}\bigl(X<\tfrac12\bigr) =\int_{-\theta}^{1/2}\frac{1}{2\theta}\,dx =\frac{(1/2)-(-\theta)}{2\theta} =\frac{\theta+\tfrac12}{2\theta}.

Passo 4

Impondo \mathrm{P}(X<\tfrac12)=\tfrac34, temos
\frac{\theta+\tfrac12}{2\theta}=\frac34.
Multiplicando em cruz:
4\bigl(\theta+\tfrac12\bigr)=3\cdot2\theta \quad\Longrightarrow\quad 4\theta+2=6\theta \quad\Longrightarrow\quad 2=2\theta \quad\Longrightarrow\quad \theta=1.

Passo 5

Verificamos que \theta=1>\tfrac12, logo está coerente com a hipótese usada.

Resposta

\theta=1

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