(Farias (2009) - ex.1.2) A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade
f_{X}(x)= \begin{cases}2 x / 3, & 0 \leq x<1 \\\\ -x / 3+1, & 1 \leq x<3 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
(a) Qual é a probabilidade de se vender mais de 150 kg num dia escolhido ao acaso?
(b) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95 \% dos dias?

Passo 1

O enunciado diz que a demanda diária de arroz, em centenas de quilos, é a variável aleatória X\) com densidade \[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{3},&0\le x<1,\\[6pt] -\dfrac{x}{3}+1,&1\le x<3,\\[3pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos (a) calcular \Pr(X>1{,}5)\] (isto é, mais de \(150 kg) e (b) encontrar q tal que \Pr(X\le q)=0{,}95 (quantidade que não falta em 95\% dos dias).]

Passo 2

Vamos obter a função de distribuição acumulada F(x)=\Pr(X\le x) em cada intervalo:
Para 0\le x<1:
F(x)=\int_{0}^{x}\frac{2t}{3}\,dt =\left[\frac{t^{2}}{3}\right]_{0}^{x} =\frac{x^{2}}{3}.
Para 1\le x<3:
F(x)=F(1)+\int_{1}^{x}\Bigl(-\tfrac{t}{3}+1\Bigr)\,dt =\frac{1^{2}}{3} +\Bigl[-\frac{t^{2}}{6}+t\Bigr]_{1}^{x}.
Calculando o segundo termo:
\Bigl(-\tfrac{x^{2}}{6}+x\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{1}{6}+1\Bigr) =-\frac{x^{2}}{6}+x+\frac{1}{6}-1 =-\frac{x^{2}}{6}+x-\frac{5}{6}.
Logo,
F(x) =\frac{1}{3} -\frac{x^{2}}{6}+x-\frac{5}{6} =-\frac{x^{2}}{6}+x-\frac{1}{2}.

Passo 3

(a) Para vender mais de 150 kg, isto é X>1{,}5, usamos
\Pr(X>1{,}5)=1-F(1{,}5).
Como 1{,}5\in[1,3),
F(1{,}5) =-\frac{(1{,}5)^{2}}{6}+1{,}5-\frac{1}{2} =-\frac{2{,}25}{6}+1{,}5-\frac{1}{2} =-0{,}375+1{,}5-0{,}5 =0{,}625.
Então
\Pr(X>1{,}5)=1-0{,}625=0{,}375.

Passo 4

(b) Queremos q tal que F(q)=0{,}95. Como 0{,}95>F(1)=1/3 e <1, o q está em [1,3), e vale
-\frac{q^{2}}{6}+q-\frac{1}{2}=0{,}95.
Reorganizando:
-\frac{q^{2}}{6}+q=1{,}45 \quad\Longrightarrow\quad q^{2}-6q+8{,}7=0.
Resolvendo a equação do segundo grau:
q=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot8{,}7}}{2} =\frac{6\pm\sqrt{1{,}2}}{2}.
A solução menor (dentro de [1,3)) é
q=\frac{6-\sqrt{1{,}2}}{2}\approx2{,}4523
centenas de quilos, ou seja aproximadamente 245{,}23 kg.

Resposta

(a) 0{,}375.
(b) Cerca de 245{,}2 kg de arroz.

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