(Farias (2009) - ex.1.3) Uma variável aleatória X\) tem função de densidade dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases}k\left(2 x-x^{2}\right), & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
Se \mu=E[X]\] e \(\sigma^{2}=\operatorname{Var}(X), calcule \operatorname{Pr}(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma).

Passo 1

O enunciado dá uma v.a. X\) com densidade \[f_{X}(x)= \begin{cases} k\,(2x - x^{2}),&0\le x\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede \mu=E[X]\], \(\sigma^{2}=\operatorname{Var}(X) e depois
\Pr\bigl(\mu-2\sigma < X < \mu+2\sigma\bigr). Vamos usar integração para achar k, \mu, \sigma^2 e então a probabilidade.

Passo 2

Determinar k pela condição de normalização \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,dx=1. Aqui só interessa 0\le x\le1, logo
\int_{0}^{1} k\,(2x - x^{2})\,dx = k\left[\;x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = k\Bigl(1-\tfrac{1}{3}\Bigr) = \tfrac{2}{3}\,k \;=\;1.
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k = \frac{3}{2}.

Passo 3

Calcular \mu=E[X]:
E[X] = \int_{0}^{1} x\,f_{X}(x)\,dx = \frac{3}{2}\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx = \frac{3}{2}\Bigl[\;\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{4}\Bigr] = \frac{3}{2}\cdot\frac{5}{12} = \frac{5}{8}.

Passo 4

Calcular \sigma^{2}=E[X^{2}]-\mu^{2}. Primeiro
E[X^{2}] = \int_{0}^{1} x^{2}f_{X}(x)\,dx = \frac{3}{2}\int_{0}^{1}(2x^{3}-x^{4})\,dx = \frac{3}{2}\Bigl[\tfrac{2}{4}-\tfrac{1}{5}\Bigr] = \frac{3}{2}\cdot\frac{3}{10} = \frac{9}{20}.
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\sigma^{2} = \frac{9}{20} - \Bigl(\frac{5}{8}\Bigr)^{2} = \frac{9}{20} - \frac{25}{64} = \frac{19}{320}, \quad \sigma = \sqrt{\frac{19}{320}}.

Passo 5

O intervalo de interesse é
\mu \pm 2\sigma = \frac{5}{8}\pm 2\sqrt{\tfrac{19}{320}}. Numericamente
\mu - 2\sigma\approx0,625 - 0,4873\approx0,1377, \quad \mu + 2\sigma\approx1,1123>1.
Como a densidade vale zero fora de [0,1], temos
\Pr\bigl(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma\bigr) =\Pr\bigl(X>0,1377\bigr) =1 - F(0,1377),
onde a função de distribuição F(x)=\int_{0}^{x}f_{X}(t)\,dt satisfaz
F(x)=\frac{3}{2}\Bigl[x^{2}-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr] =\frac{3x^{2}-x^{3}}{2}.

Passo 6

Substituindo a=\mu-2\sigma\approx0,1377 em F(a):
F(a) =\frac{3a^{2}-a^{3}}{2} \approx\frac{3\,(0,1377)^{2} - (0,1377)^{3}}{2} \approx0,0271,
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\Pr(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma) = 1 - F(a) \approx 1 - 0,0271 = 0,9729.

Resposta

\displaystyle 0{,}973 (aproximadamente)

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