(Vunesp-SP) Seja
um número real positivo. O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em função de
, pelo polinômio
. Se uma aresta do paralelepípedo mede
, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelepípedo reto-retângulo cujo volume é dado pela expressão $ V(x) = x^3 + 7x^2 + 14x + 8 $. Sabemos que uma das arestas desse paralelepípedo mede $ x + 1 $. Nosso objetivo aqui é descobrir a área da face que é perpendicular a essa aresta. Para resolver isso, vamos lembrar das fórmulas de volume e área de faces de um paralelepípedo e usar um pouco de fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto das três arestas que o formam. Se uma dessas arestas é $ x + 1 $, precisamos encontrar os outros fatores que, multiplicados por $ x + 1 $, resultem no volume $ V(x) = x^3 + 7x^2 + 14x + 8 $.
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio do volume $ V(x) $ para encontrar os outros dois fatores. Estamos procurando dois polinômios que, ao serem multiplicados por $ x + 1 $, deem $ x^3 + 7x^2 + 14x + 8 $.
Passo 4
Para isso, vamos dividir o polinômio $ V(x) $ por $ x + 1 $. Usando a divisão de polinômios ou a regra de Ruffini, descobrimos que $ V(x) $ dividido por $ x + 1 $ é igual a $ x^2 + 6x + 8 $.
Passo 5
Isso significa que as três arestas do paralelepípedo são $ x + 1 $, $ x + 2 $ e $ x + 4 $, já que $ x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) $.
Passo 6
Agora, a área da face perpendicular à aresta $ x + 1 $ é obtida multiplicando-se as outras duas arestas que não são $ x + 1 $. Ou seja, multiplicamos $ x + 2 $ por $ x + 4 $.
Passo 7
Fazendo essa multiplicação: $ (x + 2)(x + 4) = x^2 + 6x + 8 $.
Resposta
A área da face perpendicular à aresta $ x + 1 $ é $ x^{2} + 6x + 8 $. Portanto, a resposta correta é a opção e)
.