(U.F. Juiz de Fora -MG) Sejam p(x)=x^4+alpha x^3+beta x^2- -11 x+30 eq(x)=x^2+x-2 polinômios na variável x, com coeficientes reais. Se p(x) é divisível por q(x), então os números alpha e beta são ambos:
a) inteiros pares.
b) negativos.
c) primos.
d) maiores que 2 .
e) positivos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois polinômios:
  • p(x) = x^4 + alpha x^3 + beta x^2 - 11x + 30
  • q(x) = x^2 + x - 2
A questão nos diz que p(x) é divisível por q(x) . Isso significa que quando dividimos p(x) por q(x) , o resto da divisão é zero. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Resto, que nos ajuda a encontrar valores que anulam o polinômio.

Passo 2

O primeiro passo é fatorar o polinômio q(x) . Vamos encontrar as raízes de q(x) = x^2 + x - 2 .
Para encontrar as raízes, resolvemos a equação x^2 + x - 2 = 0 .
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, as raízes são x = 1 e x = -2 . Portanto, podemos escrever q(x) = (x - 1)(x + 2) .

Passo 3

Agora, já que q(x) divide p(x) , isso significa que p(x) também é nulo para x = 1 e x = -2 .
Vamos calcular p(1) e p(-2) :
  1. Para x = 1 :
p(1) = 1^4 + alpha cdot 1^3 + beta cdot 1^2 - 11 cdot 1 + 30 = 1 + alpha + beta - 11 + 30 = alpha + beta + 20
Como p(1) = 0 , temos:
alpha + beta + 20 = 0 Rightarrow alpha + beta = -20 (Equação 1) çã
  1. Para x = -2 :
p(-2) = (-2)^4 + alpha cdot (-2)^3 + beta cdot (-2)^2 - 11 cdot (-2) + 30 = 16 - 8alpha + 4beta + 22 + 30 = -8alpha + 4beta + 68
Como p(-2) = 0 , temos:
-8alpha + 4beta + 68 = 0 Rightarrow -2alpha + beta = -17 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. alpha + beta = -20
  2. -2alpha + beta = -17
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
(-2alpha + beta) - (alpha + beta) = -17 - (-20) -3alpha = 3 alpha = -1
Agora, substituímos alpha = -1 na Equação 1:
-1 + beta = -20 beta = -19

Resposta

Os números alpha e beta são ambos negativos, ou seja, a resposta correta é a opção (b) negativos.

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