Sabe-se que
e
, então o valor de
é igual a
(a) 275
(b) 280
(c) 285
(d) 290
(e) 295
(a) 275
(b) 280
(c) 285
(d) 290
(e) 295
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Primeiro precisamos de outro dado útil: o produto
. Usamos a identidade que liga quadrado da soma com soma dos quadrados:
Substituindo os valores dados:
Portanto
Passo 3
Agora vamos trabalhar com somas de potências. Definimos, para facilitar,
. Assim o que queremos é
. Também já temos:
Passo 4
Uma identidade muito útil (fácil de provar expandindo) para dois números
é:
ou em termos dos
:
Esta é uma recorrência que nos permite calcular
a partir de
e
. Vou explicar rapidamente por que isso vale: ao desenvolver o produto
aparecem os termos
e também
e
; subtraindo
remove exatamente esses termos extras, sobrando
.
Passo 5
Agora aplicamos a recorrência com os valores que temos:
e
. Vamos calcular
passo a passo.
Passo 6
Calcular
usando
Substituindo:
Fazendo as contas:
Passo 7
Calcular
usando
Substituindo:
Fazendo as contas:
Passo 8
Calcular
usando
Substituindo:
Fazendo as contas:
Passo 9
Breve observação alternativa (sem usar a recorrência): como
e
,
e
são raízes do polinômio
cujas raízes são
e
. Logo
e
são
e
em alguma ordem, e
, confirmando o resultado.
Resposta
275