Sabe-se que a+b=5 e a^{2}+b^{2}=13, então o valor de a^{5}+b^{5} é igual a
(a) 275
(b) 280
(c) 285
(d) 290
(e) 295

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \;a+b=5.
  • \;a^{2}+b^{2}=13.
O que é pedido:
  • Calcular \;a^{5}+b^{5}.

Passo 2

Primeiro precisamos de outro dado útil: o produto \;ab. Usamos a identidade que liga quadrado da soma com soma dos quadrados:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Substituindo os valores dados:
5^{2}=13+2ab.
Portanto
25=13+2ab\quad\Rightarrow\quad 2ab=12\quad\Rightarrow\quad ab=6.

Passo 3

Agora vamos trabalhar com somas de potências. Definimos, para facilitar, p_{n}=a^{n}+b^{n}. Assim o que queremos é p_{5}. Também já temos:
p_{0}=a^{0}+b^{0}=1+1=2,\qquad p_{1}=a+b=5,\qquad p_{2}=a^{2}+b^{2}=13.

Passo 4

Uma identidade muito útil (fácil de provar expandindo) para dois números a,b é:
a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2}),
ou em termos dos p_{n}:
p_{n}=(a+b)\,p_{n-1}-ab\,p_{n-2}.
Esta é uma recorrência que nos permite calcular p_{n} a partir de p_{n-1} e p_{n-2}. Vou explicar rapidamente por que isso vale: ao desenvolver o produto (a+b)(a^{n-1}+b^{n-1}) aparecem os termos a^{n},b^{n} e também a^{n-1}b e ab^{n-1}; subtraindo ab(a^{n-2}+b^{n-2}) remove exatamente esses termos extras, sobrando a^{n}+b^{n}.

Passo 5

Agora aplicamos a recorrência com os valores que temos: (a+b)=5 e ab=6. Vamos calcular p_{3},p_{4},p_{5} passo a passo.

Passo 6

Calcular p_{3} usando
p_{3}=(a+b)p_{2}-ab\,p_{1}.
Substituindo:
p_{3}=5\cdot 13 - 6\cdot 5.
Fazendo as contas:
p_{3}=65-30=35.

Passo 7

Calcular p_{4} usando
p_{4}=5\cdot p_{3}-6\cdot p_{2}.
Substituindo:
p_{4}=5\cdot 35 - 6\cdot 13.
Fazendo as contas:
p_{4}=175-78=97.

Passo 8

Calcular p_{5} usando
p_{5}=5\cdot p_{4}-6\cdot p_{3}.
Substituindo:
p_{5}=5\cdot 97 - 6\cdot 35.
Fazendo as contas:
p_{5}=485-210=275.

Passo 9

Breve observação alternativa (sem usar a recorrência): como a+b=5 e ab=6, a e b são raízes do polinômio
t^{2}-5t+6=0,
cujas raízes são t=2 e t=3. Logo a e b são 2 e 3 em alguma ordem, e 2^{5}+3^{5}=32+243=275, confirmando o resultado.

Resposta

275

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