Uma fatia de maçã com 1 cm de espessura é exposta a 80 \% de umidade relativa durante 1 semana. Depois deste tempo, a atividade de água da maçã passou de 0,1 para 0,6 . O coeficiente de transférência de massa por conveção na superficie do produto è 8.10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a difusividade de massa para o vapor de água na maçà.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma lâmina de maçã de espessura 1{,}0,cm exposta a umidade relativa de 80\% a_\infty=0{,}80 durante t=1 semana. A atividade de água na maçã evoluiu de a_i=0{,}10 para \bar a(t)=0{,}60. O coeficiente de transferência de massa por convecção na superfície vale h_m=8\times10^{-3},m/s. Precisamos estimar a difusividade efetiva D do vapor de água na maçã usando o modelo de difusão unidimensional em placa.

Passo 2

Para decidir as condições de contorno, calculamos o número de Biot de massa estimado como
\mathrm{Bi} = \frac{h_m\,L}{D}.
Como ainda não conhecemos D, usamos um valor típico aproximado 10^{-10} 10^{-11}, m^{2}/s) para ver que \mathrm{Bi}\gg1. Logo, a resistência externa é desprezível e podemos adotar condição de contorno de concentração de vapor constante na superfície igual à do ambiente ( a_s=a_\infty.

Passo 3

O modelo de difusão em placa de meia-espessura L com superfícies mantidas em a_\infty tem solução para a concentração média \bar a(t):
\frac{\bar a(t)-a_\infty}{a_i - a_\infty} =\frac{8}{\pi^2} \exp\!\Bigl(-\tfrac{\pi^2\,D\,t}{4\,L^2}\Bigr)
onde L é a meia-espessura da placa.

Passo 4

Identificamos
L=\frac{1{,}0\,\text{cm}}{2}=0{,}005\;\mathrm{m}, \quad t=7\times24\times3600=604800\;\mathrm{s},
e montamos a equação para D:
\exp\!\Bigl(-\tfrac{\pi^2 D t}{4L^2}\Bigr) =\frac{\pi^2}{8}\, \frac{\bar a(t)-a_\infty}{a_i - a_\infty} \quad\Longrightarrow\quad D =-\frac{4\,L^2}{\pi^2\,t} \ln\!\Bigl[\frac{\pi^2}{8}\, \frac{\bar a(t)-a_\infty}{a_i - a_\infty}\Bigr].

Passo 5

Substituindo números:
\frac{\bar a(t)-a_\infty}{a_i - a_\infty} =\frac{0{,}60-0{,}80}{0{,}10-0{,}80} =\frac{-0{,}20}{-0{,}70}=0{,}2857,
D =-\frac{4\,(0{,}005)^2}{\pi^2\,(604800)} \ln\!\bigl(0{,}2857\times\tfrac{\pi^2}{8}\bigr) \approx1{,}7\times10^{-11}\;\mathrm{m^2/s}.

Resposta

A difusividade de massa do vapor de água na maçã é aproximadamente
D\approx1{,}7\times10^{-11}\;\mathrm{m^2/s}.

Exercícios relacionados