Fátima usou suas economias para comprar dólares, gastando R$46.000,00. Se Fátima tivesse feito a compra um ano atrás, com o mesmo montante, em reais, ela teria comprado US$1.280,00 a mais, já que o preço de compra do dólar era R$0,80 menor. Desconsiderando-se taxas e impostos, a cotação da compra de um dólar, em reais, quando Fátima fez o investimento era um número pertencente ao intervalo de números reais dado por:
a) [5,70; 5,74]
b) [5,74; 5,78]
c) [5,78; 5,82]
d) [5,82; 5,86]
e) [5,86; 5,90]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A Fátima gastou R$46.000,00 para comprar dólares. Se ela tivesse comprado um ano antes, com o mesmo valor em reais, teria conseguido comprar 1.280 dólares a mais porque o preço do dólar era R$0,80 menor. Nosso objetivo é encontrar o valor da cotação do dólar na compra feita por Fátima. Para isso, vamos usar conceitos de proporção e equações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a cotação do dólar na época da compra da Fátima de $ x $ reais por dólar. Com R$46.000,00, ela comprou $ \frac{46.000}{x} $ dólares.

Passo 3

Um ano antes, o preço do dólar era R$0,80 menor. Então, a cotação seria $ x - 0,80 $ reais por dólar. Com o mesmo montante de R$46.000,00, ela teria comprado $ \frac{46.000}{x - 0,80} $ dólares.

Passo 4

Segundo a questão, a diferença entre a quantidade de dólares comprados nas duas situações é de 1.280 dólares. Podemos escrever essa diferença como:
46.000x - 0,80 - 46.000x = 1.280

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, colocamos os termos em um denominador comum:
46.000 ( 1x - 0,80 - 1x ) = 1.280
46.000 ( x - (x - 0,80)x(x - 0,80) ) = 1.280
46.000 ( 0,80x(x - 0,80) ) = 1.280

Passo 6

Multiplicando os números:
46.000 times 0,80 = 36.800
Então, a equação fica:
36.800x(x - 0,80) = 1.280

Passo 7

Agora, vamos isolar $ x(x - 0,80) $:
x(x - 0,80)
x(x - 0,80) = 36.8001.280

Passo 8

Expandindo a expressão:
x^2 - 0,80x = 28,75
x^2 - 0,80x - 28,75 = 0

Passo 9

Temos uma equação quadrática:
x^2 - 0,80x - 28,75 = 0
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 1 $, $ b = -0,80 $ e $ c = -28,75 $.
a = 1
b = -0,80
c = -28,75
x = 0,80 pm raiz(0,80)^2 - 4 times 1 times (-28,75)2
Considerando somente a solução positiva:
x = 0,80 pm raiz0,64 + 1152

Passo 10

Portanto, a cotação do dólar na compra feita por Fátima foi de aproximadamente R$5,78. Observando as opções, o intervalo que contém esse valor é:
b) [5,74; 5,78]

Resposta

A cotação do dólar estava no intervalo [5,74; 5,78]. Portanto, a alternativa correta é a letra b).

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