\sum_{n=0}{\infty}(x-3){n}
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede (clarinho):
- É dada a série
. - O que normalmente se espera pedir aqui: (i) identificar para quais valores de
a série converge (intervalo/raio de convergência) e (ii) quando converge, obter a soma da série como função de .
Informações relevantes extraídas do enunciado: o termo geral é; isso é uma série de potências centrada em .
Passo 2
Reconhecendo o tipo de série: é uma série geométrica em
.
- Uma série geométrica tem a forma
, onde é o primeiro termo e é a razão. - Aqui o primeiro termo é
(quando temos ) e a razão é .
Então podemos tratarcomo .
Passo 3
Critério de convergência da série geométrica (aula rápida):
- Uma série geométrica
converge se, e somente se, . - Prova curta da condição: se
os termos e a soma parcial tem limite quando , porque . Se os termos não vão a zero (ou ficam com módulo constante) e a série diverge.
Aplicando ao nosso caso, substituímos. Assim a condição de convergência é
Isto descreve um intervalo ao redor do centro
com raio
, ou seja
.
Passo 4
Encontrando a soma (derivação passo a passo):
- Para
vale a identidade (derivada das somas parciais):
- No nosso caso
, logo para obtemos
- Simplificando o denominador:
portanto, quando converge,
Passo 5
Analisando os extremos do intervalo (testando
e
):
- Para
o termo geral fica . A série não converge porque os termos não tendem a zero (ficam alternando entre e ). Pelo teste do termo geral, se os termos não tendem a zero a série diverge. Logo diverge em . - Para
o termo geral fica . A série diverge (soma de infinitos 1). Portanto diverge em .
Conclusão: os extremose não pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 6
Resumo interpretativo e exemplo numérico curto para fixar:
- A série é um exemplo clássico: é a expansão geométrica centrada em
e só “funciona” quando . - Exemplo: para
a série é e a fórmula dá , bate certinho. - Para
(que está no intervalo de convergência) a soma prevista é ; os termos são pequenos e a soma parcial tende para 2.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: