\sum_{n=0}{\infty}(x-3){n}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (clarinho):
  • É dada a série \sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}.
  • O que normalmente se espera pedir aqui: (i) identificar para quais valores de x a série converge (intervalo/raio de convergência) e (ii) quando converge, obter a soma da série como função de x.
    Informações relevantes extraídas do enunciado: o termo geral é (x-3)^{n}; isso é uma série de potências centrada em x=3.

Passo 2

Reconhecendo o tipo de série: é uma série geométrica em n.
  • Uma série geométrica tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}, onde a é o primeiro termo e r é a razão.
  • Aqui o primeiro termo é a=1 (quando n=0 temos (x-3)^0=1) e a razão é r=x-3.
    Então podemos tratar \sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n} como \sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot (x-3)^{n}.

Passo 3

Critério de convergência da série geométrica (aula rápida):
  • Uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} converge se, e somente se, |r|<1.
  • Prova curta da condição: se |r|<1 os termos r^{n}\to0 e a soma parcial S_N = a\frac{1-r^{N+1}}{1-r} tem limite quando N\to\infty, porque r^{N+1}\to0. Se |r|\ge1 os termos não vão a zero (ou ficam com módulo constante) e a série diverge.
    Aplicando ao nosso caso, substituímos r=x-3. Assim a condição de convergência é
|x-3|<1.
Isto descreve um intervalo ao redor do centro 3 com raio 1, ou seja 2<x<4.

Passo 4

Encontrando a soma (derivação passo a passo):
  • Para |r|<1 vale a identidade (derivada das somas parciais):
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r}.
  • No nosso caso r=x-3, logo para |x-3|<1 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} (x-3)^{n} = \frac{1}{1-(x-3)}.
  • Simplificando o denominador:
1-(x-3)=4-x,
portanto, quando converge,
\sum_{n=0}^{\infty} (x-3)^{n} = \frac{1}{4-x}.

Passo 5

Analisando os extremos do intervalo (testando x=2 e x=4):
  • Para x=2 o termo geral fica (2-3)^{n}=(-1)^{n}. A série \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} não converge porque os termos não tendem a zero (ficam alternando entre 1 e -1). Pelo teste do termo geral, se os termos não tendem a zero a série diverge. Logo diverge em x=2.
  • Para x=4 o termo geral fica (4-3)^{n}=1^{n}=1. A série \sum_{n=0}^{\infty}1 diverge (soma de infinitos 1). Portanto diverge em x=4.
    Conclusão: os extremos x=2 e x=4 não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 6

Resumo interpretativo e exemplo numérico curto para fixar:
  • A série é um exemplo clássico: é a expansão geométrica centrada em 3 e só “funciona” quando |x-3|<1.
  • Exemplo: para x=3 a série é 1+0+0+\dots =1 e a fórmula dá \dfrac{1}{4-3}=1, bate certinho.
  • Para x=3{,}5 (que está no intervalo de convergência) a soma prevista é \dfrac{1}{4-3{,}5}=\dfrac{1}{0{,}5}=2; os termos (0{,}5)^{n} são pequenos e a soma parcial tende para 2.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}=\frac{1}{4-x} para |x-3|<1
Raio de convergência: R=1 (centro 3).
Intervalo de convergência: 2<x<4.

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