Fatoração
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio
.
Informações dadas:
- É um polinômio em
. - Termos:
e . - Grau do polinômio:
. - Não há termo constante (o coeficiente de
é ).
Pedido: escrever
como um produto de fatores polinomiais de grau menor.
Passo 2
Procure um fator comum entre os termos (método mais simples e direto aqui).
Explicação didática do processo de fator comum:
- Para identificar o fator comum, olhe para os coeficientes numéricos e para as potências de
em cada termo. - Coeficientes numéricos:
(em ) e (em ). O máximo divisor comum entre e é . - Potências de
: em temos , em temos . O menor expoente é , então a parte variável comum é . - Portanto o maior fator comum entre os termos é
.
Passo 3
Fatore
do polinômio, escrevendo cada termo dividido pelo fator comum.
Escrevendo a divisão de cada termo por
:
Agora coloque o fator comum fora do parêntese e os quocientes dentro:
Passo 4
Verificação rápida (confira sempre no exame): multiplique de volta (distributiva) para ver se retorna ao polinômio original.
Use a propriedade distributiva
:
que é exatamente o polinômio original. Portanto a fatoração está correta.
Passo 5
Outras interpretações úteis para prova (dica prática):
- Como o termo constante é
, sempre que um quadrático tiver a forma (isto é, sem constante) pode-se sempre fatorar : . - Relação com raízes: igualando a zero
dá , então as raízes são e . Cada raiz corresponde a um fator do tipo ou . - Exemplos rápidos para treinar:
- Erro comum: esquecer de verificar o sinal ao dividir o termo constante do fator; sempre distribua para checar.