Fatoração
(f) x^{2}-6 x

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio x^{2}-6x.
Informações dadas:
  • É um polinômio em x.
  • Termos: x^{2} e -6x.
  • Grau do polinômio: 2.
  • Não há termo constante (o coeficiente de x^{0} é 0).
Pedido: escrever x^{2}-6x como um produto de fatores polinomiais de grau menor.

Passo 2

Procure um fator comum entre os termos (método mais simples e direto aqui).
Explicação didática do processo de fator comum:
  • Para identificar o fator comum, olhe para os coeficientes numéricos e para as potências de x em cada termo.
  • Coeficientes numéricos: 1 (em x^{2}) e -6 (em -6x). O máximo divisor comum entre 1 e -6 é 1.
  • Potências de x: em x^{2} temos x^{2}, em -6x temos x^{1}. O menor expoente é 1, então a parte variável comum é x.
  • Portanto o maior fator comum entre os termos é x.

Passo 3

Fatore x do polinômio, escrevendo cada termo dividido pelo fator comum.
Escrevendo a divisão de cada termo por x:
\frac{x^{2}}{x}=x,\qquad \frac{-6x}{x}=-6.
Agora coloque o fator comum fora do parêntese e os quocientes dentro:
x^{2}-6x = x\bigl(x-6\bigr).

Passo 4

Verificação rápida (confira sempre no exame): multiplique de volta (distributiva) para ver se retorna ao polinômio original.
Use a propriedade distributiva a(b+c)=ab+ac:
x\bigl(x-6\bigr)=x\cdot x - x\cdot 6 = x^{2}-6x,
que é exatamente o polinômio original. Portanto a fatoração está correta.

Passo 5

Outras interpretações úteis para prova (dica prática):
  • Como o termo constante é 0, sempre que um quadrático tiver a forma ax^{2}+bx (isto é, sem constante) pode-se sempre fatorar x: ax^{2}+bx = x(ax+b).
  • Relação com raízes: igualando a zero x^{2}-6x=0 x(x-6)=0, então as raízes são x=0 e x=6. Cada raiz corresponde a um fator do tipo x ou x-6.
  • Exemplos rápidos para treinar: 2x^{2}-8x = 2x\bigl(x-4\bigr), \qquad x^{2}+3x = x\bigl(x+3\bigr).
  • Erro comum: esquecer de verificar o sinal ao dividir o termo constante do fator; sempre distribua para checar.

Resposta

x(x-6)

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