Fatorando quando necessário, calcule o MMC dos seguintes polinômios.
3 x^4-3 x^3, x^2-1 e 6 x^2-12 x+6

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) dos polinômios , e . Para isso, vamos precisar fatorar cada polinômio para identificar seus fatores primos e, assim, determinar o MMC. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio 3x^4 - 3x^3 = 3x^3(x - 1) . Observe que podemos tirar um fator comum de :

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Esse é um caso de diferença de quadrados, que pode ser fatorado da seguinte forma:

Passo 4

Por fim, vamos fatorar o polinômio 6x^2 - 12x + 6 = 6(x^2 - 2x + 1) . Primeiro, tiramos o fator comum 6:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Dentro do parêntese, temos um trinomio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como:
6x^2 - 12x + 6 = 6(x - 1)^2
Portanto, a fatoração completa fica:

Passo 5

Agora que temos todos os polinômios fatorados, vamos identificar os fatores primos de cada um:
Os fatores primos são: , , e .

Passo 6

Para encontrar o MMC, precisamos considerar cada fator com a maior potência que aparece em qualquer um dos polinômios:
  • O fator aparece no primeiro e terceiro polinômio, com a maior potência sendo .
  • O fator aparece apenas no primeiro polinômio com potência .
  • O fator aparece nos três polinômios, com a maior potência sendo .
  • O fator aparece apenas no segundo polinômio com potência .
Além disso, consideramos o coeficiente numérico: o MMC dos coeficientes , e é .

Passo 7

Agora, juntamos todos esses fatores para formar o MMC:
MMC = 6 cdot x^3 cdot (x - 1)^2 cdot (x + 1)

Resposta

O MMC dos polinômios é:
MMC = 6x^3(x - 1)^2(x + 1)

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