Fatorar os seguintes polinômios:
y=x^7-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fatorar o polinômio y = x^7 - 1 . Isso está relacionado ao conteúdo de fatoração de polinômios, especificamente usando a diferença de potências. Para resolver, vamos precisar lembrar como fatorar expressões do tipo x^n - 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que x^7 - 1 é uma diferença de potências, onde n = 7 . A fórmula geral para fatorar x^n - 1 é:
x^n - 1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1)
Então, aplicando essa fórmula com n = 7 , temos:
x^7 - 1 = (x - 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 3

Vamos ver se conseguimos fatorar mais o segundo fator x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 . Esse tipo de polinômio é conhecido como um polinômio ciclotômico de ordem 7. Ele não pode ser fatorado mais usando números reais, pois não possui raízes reais adicionais além de x = 1 .

Resposta

Portanto, a fatoração completa do polinômio y = x^7 - 1 é:
y = (x - 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

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