Fatorar os seguintes polinômios:
y=x^6+2 x^4+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de fatoração do polinômio y = x^6 + 2x^4 + x^2 . A matéria que envolve aqui é a fatoração de polinômios, e para isso vamos precisar identificar fatores comuns e reconhecer padrões que facilitem a fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar se existe algum fator comum em todos os termos do polinômio. Olhando bem, vemos que cada termo tem pelo menos um x^2 . Então, podemos fatorar x^2 de todos eles:
y = x^2(x^4 + 2x^2 + 1)
Isso simplifica nossa expressão e facilita os próximos passos.

Passo 3

Agora, vamos focar no polinômio dentro dos parênteses: x^4 + 2x^2 + 1 . Esse polinômio é do tipo quadrático, onde x^2 está atuando como a variável. Podemos reescrever assim:
x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2)^2 + 2(x^2) + 1
Isso se parece com a forma a^2 + 2ab + b^2 , que sabemos que é igual a (a + b)^2 . Comparando, temos a = x^2 e b = 1 . Então, podemos fatorar:
(x^2)^2 + 2(x^2) + 1 = (x^2 + 1)^2

Resposta

Juntando tudo, a fatoração completa do polinômio é:
y = x^2(x^2 + 1)^2

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