Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.23 y^prime prime+6 y^prime+9 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9,23,y'' + 6,y' + 9,y = 0
O conteúdo é resolução de EDOs de segunda ordem por equação característica; vamos construir essa equação e achar as raízes para escrever a solução geral.

Passo 2

Assumimos y=e^r x e obtemos a equação característica
9,23,r^2 + 6,r + 9 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 6^2 - 4cdot9,23cdot9 = 36 - 332,28 = -296,28,
que é negativo, indicando raízes complexas.

Passo 3

As raízes são
r = -6 pm raiz-296,282cdot9,23 = -618,46 pm i,raiz296,2818,46
Definimos
alpha = -618,46 = -39,23approx -0,325, beta = raiz296,2818,46approx 0,932

Passo 4

Para raízes r=alphapm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta, obtemos
y(x) = e^-0,325,xl(C1cos(0,932,x)+C2sin(0,932,x)r)

Resposta

y(x) = e^-0,325,xl(C1cos(0,932,x)+C2sin(0,932,x)r)

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