Fatorar os seguintes polinômios:
y=x^5-6 x^3+9 x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa fatorar o polinômio y = x^5 - 6x^3 + 9x. Isso tá ligado à matéria de Fatoração de Polinômios. Para resolver, a gente vai precisar identificar fatores comuns e usar algumas técnicas de fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar um fator que todo termo do polinômio tem em comum. Olhando bem, todo termo tem pelo menos um x. Então, podemos colocar um x de fora:
y = x ( x^4 - 6x^2 + 9 )

Passo 3

Agora, vamos focar no que está dentro dos parênteses: x^4 - 6x^2 + 9. Esse polinômio parece complicado, mas dá pra simplificar pensando nele como uma equação quadrática em termos de x^2. Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja z = x^2. Assim, a expressão fica:
z^2 - 6z + 9

Passo 4

Essa nova expressão z^2 - 6z + 9 é uma equação quadrática padrão. A gente pode fatorar procurando dois números que multiplicados resultam em 9 e que somados dão -6. Esses números são -3 e -3. Então, a fatoração fica:
(z - 3)(z - 3) = (z - 3)^2

Passo 5

Agora, vamos voltar à substituição que fizemos, lembrando que z = x^2. Substituindo de volta:
(x^2 - 3)^2
Então, substituindo essa parte na expressão original que fatoramos:
y = x ( x^2 - 3 )^2

Resposta

A fatoração do polinômio é:
y = x ( x^2 - 3 )^2

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