Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.41 d^2 Pd x^2+2 d Pd x+9 P=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9.41 ,d^2Pdx^2 ;+; 2,dPdx ;+; 9,P ;=; 0
O conteúdo a ser usado é o método da equação característica, assumindo solução da forma P(x)=e^r x.

Passo 2

Substituindo P(x)=e^r x na EDO, obtemos
dPdx=r e^r x, d^2Pdx^2=r^2e^r x,
logo
9.41,r^2e^r x + 2,r e^r x + 9,e^r x = 0 ;longrightarrow; 9.41,r^2 + 2,r + 9 = 0
é a equação característica.

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = 2^2 - 4cdot 9.41cdot 9 = 4 - 338.76 = -334.76 < 0,
portanto as raízes são complexas conjugadas:
r = -2 pm raiz-334.762cdot 9.41 = -218.82 pm i,raiz334.7618.82 approx -0.1063 pm i,0.9723

Passo 4

Para raízes r=alphapm ibeta a solução geral é
P(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha=-0.1063 e beta=0.9723, logo
P(x) = e^-0.1063,xl(C1cos(0.9723,x) + C2sin(0.9723,x)r)

Resposta

P(x) = e^-0.1063,xl(C1cos(0.9723,x) + C2sin(0.9723,x)r)

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