Resolva os seguintes problemas:
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de três razões trigonométricas para o ângulo
:
Informações explícitas que temos do enunciado:
Também é útil lembrar a relação entre radianos e graus:
radianos equivalem a
, então
. (Somente informação — não resolvemos ainda.)
Passo 2
Vamos lembrar o que significam as funções seno, cosseno e tangente no contexto de um triângulo retângulo — isso é essencial para entender a resolução passo a passo.
Definições (para um ângulo agudo
em um triângulo retângulo):
Explicando em palavras: pega um triângulo retângulo com o ângulo
. O seno é a razão entre o lado que fica “em frente” a
e a hipotenusa; o cosseno é a razão entre o lado que fica “ao lado” de
e a hipotenusa; a tangente é a razão entre os dois catetos.
Passo 3
Para
(ou
), um jeito muito prático é usar um triângulo retângulo isósceles, que tem os dois catetos iguais — esse triângulo corresponde exatamente ao ângulo de
.
Escolhemos um triângulo com catetos de comprimento
para ficar simples. Então:
Agora calculamos a hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 4
Com esses comprimentos, calculamos o seno de
pela definição:
É comum racionalizar o denominador para deixar a forma mais bonita. Multiplicamos numerador e denominador por
:
Portanto
Passo 5
De modo análogo, o cosseno de
é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Como os catetos são iguais:
Observe que, para
, seno e cosseno são iguais porque o triângulo é isósceles (os catetos têm o mesmo comprimento).
Passo 6
A tangente pode ser calculada de duas formas equivalentes: usando
ou diretamente como
. Usando a razão dos catetos:
Usando o quociente seno/cosseno também dá: