Resolva os seguintes problemas:
Determine \sin \left(\frac{\pi}{4}\right), \cos \left(\frac{\pi}{4}\right), \tan \left(\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de três razões trigonométricas para o ângulo \frac{\pi}{4}:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right),\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right),\qquad \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Informações explícitas que temos do enunciado:
\frac{\pi}{4}\\ \text{(radianos)}.
Também é útil lembrar a relação entre radianos e graus: \pi radianos equivalem a 180^\circ, então \frac{\pi}{4}=45^\circ. (Somente informação — não resolvemos ainda.)

Passo 2

Vamos lembrar o que significam as funções seno, cosseno e tangente no contexto de um triângulo retângulo — isso é essencial para entender a resolução passo a passo.
Definições (para um ângulo agudo \theta em um triângulo retângulo):
\sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Explicando em palavras: pega um triângulo retângulo com o ângulo \theta. O seno é a razão entre o lado que fica “em frente” a \theta e a hipotenusa; o cosseno é a razão entre o lado que fica “ao lado” de \theta e a hipotenusa; a tangente é a razão entre os dois catetos.

Passo 3

Para \theta=45^\circ (ou \theta=\frac{\pi}{4}), um jeito muito prático é usar um triângulo retângulo isósceles, que tem os dois catetos iguais — esse triângulo corresponde exatamente ao ângulo de 45^\circ.
Escolhemos um triângulo com catetos de comprimento 1 para ficar simples. Então:
\text{cateto oposto}=1,\qquad \text{cateto adjacente}=1.
Agora calculamos a hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
\text{hipotenusa}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.

Passo 4

Com esses comprimentos, calculamos o seno de \frac{\pi}{4} pela definição:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
É comum racionalizar o denominador para deixar a forma mais bonita. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2}:
\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

De modo análogo, o cosseno de \frac{\pi}{4} é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Como os catetos são iguais:
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Observe que, para 45^\circ, seno e cosseno são iguais porque o triângulo é isósceles (os catetos têm o mesmo comprimento).

Passo 6

A tangente pode ser calculada de duas formas equivalentes: usando \tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} ou diretamente como \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}. Usando a razão dos catetos:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{1}{1}=1.
Usando o quociente seno/cosseno também dá:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1.

Resposta

\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1

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