Fatore as expressões.
10 v^2+23 v+12

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o trinômio do 2º grau 10v^2 + 23v + 12. O conteúdo envolvido é fatoração de expressões quadráticas por agrupamento ou busca de dois números cuja soma seja o coeficiente linear e cujo produto seja o produto do coeficiente quadrático pelo termo constante.

Passo 2

Para usar a técnica de “ac” (ou seja, multiplicar a e c), calculamos a cdot c = 10 times 12 = 120.
Precisamos então encontrar dois números m e n tais que m + n = 23 (coeficiente de v) e m cdot n = 120. Testando pares de fatores de 120, achamos 8 e 15 porque 8 + 15 = 23 e 8 times 15 = 120.

Passo 3

Reescrevemos o termo do meio usando 8v e 15v:
10v^2 + 8v + 15v + 12

Passo 4

Aplicamos fatoração por agrupamento em dois pares:
No primeiro par 10v^2 + 8v, fator comum é 2v, gerando 2v(5v + 4).
No segundo par 15v + 12, fator comum é 3, gerando 3(5v + 4).
Como ambos têm o fator (5v + 4), obtemos:
2v(5v + 4) + 3(5v + 4) = (2v + 3)(5v + 4)

Passo 5

Checando, ao multiplicar (2v + 3)(5v + 4) de volta, recuperamos 10v^2 + 23v + 12, então a fatoração está correta.

Resposta

(2v + 3)(5v + 4)

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