Fatore as expressões.
a) x^{2}-9.
b) 16 x^{2}-1
c) 9-\frac{x^{2}}{4}
d) x^{2}-64 y^{2}
e) 4 y^{2}-5
f) 36 x^{2}-100.
g) 16-49 x^{2}.
h) 2 u^{2}-v^{2}
i) 25-x^{8}
j) x^{4}-x^{2}.
k) \frac{9 x^{2}}{4}-\frac{1}{9}.
l) x-16.
m) \frac{36}{y^{2}}-\frac{1}{9}
n) (x-7)^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as seguintes expressões (cada item é uma expressão a ser escrita como produto de fatores):
a) x^{2}-9.
b) 16 x^{2}-1.
c) 9-\dfrac{x^{2}}{4}.
d) x^{2}-64 y^{2}.
e) 4 y^{2}-5.
f) 36 x^{2}-100.
g) 16-49 x^{2}.
h) 2 u^{2}-v^{2}.
i) 25-x^{8}.
j) x^{4}-x^{2}.
k) \dfrac{9 x^{2}}{4}-\dfrac{1}{9}.
l) x-16.
m) \dfrac{36}{y^{2}}-\dfrac{1}{9}.
n) (x-7)^{2}-4.
Estas são todas as informações dadas; a tarefa é escrever cada uma na forma de fatores (quando possível, usando fatoração em fatores lineares ou quadráticos).

Passo 2

Ferramenta principal: a identidade diferença de quadrados. Ela diz que, para quaisquer quantidades a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicação do que cada símbolo significa: a e b podem ser números, monômios ou expressões; a^{2} significa a ao quadrado; o resultado é o produto de duas diferenças/somas. Exemplo simples: 9-4 = 3^{2}-2^{2}=(3-2)(3+2)=1\cdot5=5. Vamos aplicar essa identidade sempre que reconhecermos um termo como “algo ao quadrado” menos “algo ao quadrado”.

Passo 3

Item (a): x^{2}-9.
Reconhecer como diferença de quadrados com a=x e b=3 (porque 9=3^{2}). Aplicando a fórmula:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 4

Item (b): 16 x^{2}-1.
Aqui 16x^{2}=(4x)^{2} e 1=1^{2}. Usando diferença de quadrados com a=4x e b=1:
16x^{2}-1=(4x-1)(4x+1).

Passo 5

Item (c): 9-\dfrac{x^{2}}{4}.
Escreva cada termo como quadrado: 9=3^{2} e \dfrac{x^{2}}{4}=\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}. Aplicando diferença de quadrados:
9-\dfrac{x^{2}}{4}=\left(3-\dfrac{x}{2}\right)\left(3+\dfrac{x}{2}\right).
Se quiser, pode multiplicar fatores por 2 para limpar denominadores, mas a forma acima já é fatorada.

Passo 6

Item (d): x^{2}-64 y^{2}.
Aqui 64y^{2}=(8y)^{2}. Com a=x, b=8y:
x^{2}-64y^{2}=(x-8y)(x+8y).

Passo 7

Item (e): 4 y^{2}-5.
Podemos ver 4y^{2}=(2y)^{2} e 5 não é um quadrado perfeito racional. Como diferença de quadrados em termos reais:
4y^{2}-5=(2y)^{2}-(\sqrt{5})^{2}=(2y-\sqrt{5})(2y+\sqrt{5}).
Observação: se se exige fatoração com coeficientes racionais, este polinômio é irredutível sobre os racionais; sobre os reais usa-se a forma com \sqrt{5}.

Passo 8

Item (f): 36 x^{2}-100.
Primeiro escrever como diferença de quadrados: 36x^{2}=(6x)^{2} e 100=10^{2}. Então
36x^{2}-100=(6x-10)(6x+10).
Para fatorar completamente em fatores com coeficientes inteiros sem constantes comuns, podemos retirar o fator comum 4 porque 6x\pm10=2(3x\pm5). Assim:
36x^{2}-100=4(3x-5)(3x+5).

Passo 9

Item (g): 16-49 x^{2}.
Escreva 16=4^{2} e 49x^{2}=(7x)^{2}. Aplicando a fórmula:
16-49x^{2}=(4-7x)(4+7x).

Passo 10

Item (h): 2 u^{2}-v^{2}.
Escrevemos 2u^{2}=(\sqrt{2}u)^{2}. Então é diferença de quadrados com a=\sqrt{2}u, b=v:
2u^{2}-v^{2}=(\sqrt{2}u-v)(\sqrt{2}u+v).
Observação: essa fatoração usa coeficiente irracional \sqrt{2}. Sobre os racionais, é irreduzível como produto de polinômios com coeficientes racionais (a não ser que se permita fatores lineares com coeficientes irracionais).

Passo 11

Item (i): 25-x^{8}.
Note que 25=5^{2} e x^{8}=(x^{4})^{2}. Aplicando diferença de quadrados com a=5, b=x^{4}:
25-x^{8}=(5-x^{4})(5+x^{4}).
Comentário: 5\pm x^{4} não são fatores que se quebram em fatorações racionais adicionais (poderia fatorar usando raízes irracionais em níveis posteriores, mas em exercícios usuais essa etapa é suficiente).

Passo 12

Item (j): x^{4}-x^{2}.
Fator comum x^{2} primeiro:
x^{4}-x^{2}=x^{2}(x^{2}-1).
Depois x^{2}-1 é diferença de quadrados: x^{2}-1=(x-1)(x+1). Assim
x^{4}-x^{2}=x^{2}(x-1)(x+1).

Passo 13

Item (k): \dfrac{9 x^{2}}{4}-\dfrac{1}{9}.
Escreva como diferença de quadrados de frações: \dfrac{9x^{2}}{4}=\left(\dfrac{3x}{2}\right)^{2} e \dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}. Logo
\dfrac{9 x^{2}}{4}-\dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{3x}{2}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{3x}{2}+\dfrac{1}{3}\right).
Se preferir limpar denominadores em cada fator, pode escrever \dfrac{3x}{2}\pm\dfrac{1}{3}=\dfrac{9x\pm2}{6}, mas a forma anterior já mostra claramente a fatoração.

Passo 14

Item (l): x-16.
Isto é um polinômio de grau 1. Não existe uma fatoração não-trivial em fatores polinomiais de grau menor com coeficientes racionais (além de 1\cdot(x-16)). Portanto está já na forma fatorada (linear):
x-16\\ \text{(já é linear, não se fatoriza mais sobre os racionais).}áéã

Passo 15

Item (m): \dfrac{36}{y^{2}}-\dfrac{1}{9}.
Escreva como diferença de quadrados de razões: \dfrac{36}{y^{2}}=\left(\dfrac{6}{y}\right)^{2} e \dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}. Assim
\dfrac{36}{y^{2}}-\dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{6}{y}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{6}{y}+\dfrac{1}{3}\right).
Opcionalmente pode colocar os fatores com denominador comum: \dfrac{6}{y}\pm\dfrac{1}{3}=\dfrac{18\pm y}{3y}, mas a forma com diferença de quadrados é mais direta.

Passo 16

Item (n): (x-7)^{2}-4.
Reconhecer como diferença de quadrados: (x-7)^{2} é um quadrado e 4=2^{2}. Portanto
(x-7)^{2}-4=(x-7-2)(x-7+2)=(x-9)(x-5).

Resposta

a) (x-3)(x+3)
b) (4x-1)(4x+1)
c) \left(3-\dfrac{x}{2}\right)\left(3+\dfrac{x}{2}\right)
d) (x-8y)(x+8y)
e) (2y-\sqrt{5})(2y+\sqrt{5})
f) 4(3x-5)(3x+5)
g) (4-7x)(4+7x)
h) (\sqrt{2}u-v)(\sqrt{2}u+v)
i) (5-x^{4})(5+x^{4})
j) x^{2}(x-1)(x+1)
k) \left(\dfrac{3x}{2}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{3x}{2}+\dfrac{1}{3}\right)
l) x-16
m) \left(\dfrac{6}{y}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{6}{y}+\dfrac{1}{3}\right)
n) (x-9)(x-5)

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