Fatore as expressões.
\frac{36}{y^{2}}-\frac{1}{9}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão \dfrac{36}{y^{2}}-\dfrac{1}{9}.
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença entre duas frações: \dfrac{36}{y^{2}} e \dfrac{1}{9}.
  • Não há restrições explícitas sobre y no enunciado, apenas é entendido que y\neq0 para que \dfrac{36}{y^{2}} faça sentido.

Passo 2

Identificar uma estratégia: esta expressão é uma diferença de quadrados. Vou explicar o que isso significa de um jeito bem direto.
A identidade “diferença de quadrados” diz que, para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui precisamos identificar a e b tais que \dfrac{36}{y^{2}}=\;a^{2} e \dfrac{1}{9}=b^{2}.

Passo 3

Reescrever cada termo como um quadrado perfeito:
\dfrac{36}{y^{2}}=\left(\dfrac{6}{y}\right)^{2}, \qquad \dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}.
Portanto podemos aplicar a fórmula com a=\dfrac{6}{y} e b=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Aplicando a identidade da diferença de quadrados:
\dfrac{36}{y^{2}}-\dfrac{1}{9} =\left(\dfrac{6}{y}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{6}{y}+\dfrac{1}{3}\right).
Essa já é uma fatoração válida. Vou agora mostrar como deixar cada fator com um denominador comum para obter uma forma sem frações dentro dos parênteses.

Passo 5

Colocar cada fator sobre o mesmo denominador 3y:
Calcular o primeiro fator:
\dfrac{6}{y}-\dfrac{1}{3} =\dfrac{6\cdot 3}{y\cdot 3}-\dfrac{1\cdot y}{3\cdot y} =\dfrac{18}{3y}-\dfrac{y}{3y} =\dfrac{18-y}{3y}.
Calcular o segundo fator:
\dfrac{6}{y}+\dfrac{1}{3} =\dfrac{18}{3y}+\dfrac{y}{3y} =\dfrac{18+y}{3y}.

Passo 6

Multiplicando os dois fatores com denominador comum:
\left(\dfrac{18-y}{3y}\right)\left(\dfrac{18+y}{3y}\right) =\dfrac{(18-y)(18+y)}{(3y)(3y)} =\dfrac{(18-y)(18+y)}{9y^{2}}.
Esta é a expressão totalmente fatorada (numerador fatorado em binômios, denominador simplificado).

Resposta

\left(\dfrac{6}{y}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{6}{y}+\dfrac{1}{3}\right)
\dfrac{(18-y)(18+y)}{9y^{2}}

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