Fatore as expressões abaixo, colocando o fator comum em evidência:
x^{4}+x^{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu fatore a expressão colocando o fator comum em evidência. A expressão fornecida é x^{4}+x^{3}. Informações relevantes dadas:
  • A expressão tem duas parcelas: x^{4} e x^{3}.
  • Os coeficientes de ambas as parcelas são 1.
  • Os expoentes de x nas parcelas são 4 e 3.
    A tarefa é escrever a expressão na forma “fator comum × (resto)”, isto é, extrair o maior fator comum possível.

Passo 2

O que significa “colocar o fator comum em evidência”?
Se duas quantidades A e B têm um fator comum C, então vale a identidade
A+B = C\left(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}\right).
Aqui C é um divisor comum de A e B. Exemplo simples para entender: em 6a+9b o maior fator comum dos coeficientes é 3, então
6a+9b = 3\left(\frac{6a}{3}+\frac{9b}{3}\right)=3(2a+3b).
A ideia é a mesma com potências: vamos procurar o maior monômio que divide cada termo.

Passo 3

Regra útil para potências da mesma base: para x^{m} e x^{n}, o maior fator de x que aparece em ambos é x^{\min(m,n)}. Isso porque
\frac{x^{m}}{x^{k}}=x^{m-k},
então escolher k=\min(m,n) garante que a divisão de cada termo por x^{k} dá outra potência inteira de x. No nosso caso as potências são x^{4} e x^{3}; portanto o expoente mínimo é 3, sugerindo x^{3} como candidato a fator comum.

Passo 4

Verificação dos coeficientes: ambos os coeficientes são 1, então o maior fator comum numérico é 1 (não há outro inteiro maior que divide ambos). Assim o fator comum completo é apenas a parte em x: x^{3}.

Passo 5

Agora divido cada termo pelo fator comum x^{3} para achar o que fica dentro do parêntese:
\frac{x^{4}}{x^{3}} = x^{4-3} = x,
\frac{x^{3}}{x^{3}} = x^{3-3} = x^{0} = 1.
Observação: x^{0}=1 para qualquer x\neq 0, e esse é o valor que aparece ao dividir potências iguais.

Passo 6

Checagem rápida (como testar se a fatoração está correta): multiplicar o fator comum pelos termos do parêntese deve recuperar os termos originais:
x^{3}\cdot x = x^{4},\qquad x^{3}\cdot 1 = x^{3}.
Isso confirma que a decomposição está correta.

Resposta

x^{3}(x+1)

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