Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2 x y z;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2,x,y,z
O conteúdo aqui é fatoração de polinômio simétrico de grau 3. A nossa ideia será reconhecer que isso coincide com a expansão de (x+y)(y+z)(z+x).

Passo 2

Vamos listar os monômios que aparecem na expressão original:
x^2y,;x^2z,;y^2z,;y^2x,;z^2x,;z^2y,;e;2xyz
Repare que são exatamente os mesmos termos (com os mesmos coeficientes) que surgem ao expandir (x+y)(y+z)(z+x).

Passo 3

Para confirmar, expandimos passo a passo. Primeiro
(x+y)(y+z)=xy + xz + y^2 + yz
Agora multiplicamos esse resultado por (z+x):
(xy + xz + y^2 + yz)(z+x)
Cada termo multiplica z e x, gerando
xyz + x^2y + xz^2 + x^2z + y^2z + xy^2 + yz^2 + xyz
Agrupando, fica
x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2 + 2,xyz,
que é exatamente a expressão dada.

Passo 4

Como a expansão de (x+y)(y+z)(z+x) reproduz fielmente todos os termos originais, concluímos que a fatoração desejada é

Resposta

(x+y)(y+z)(z+x)

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