Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
x^2+y^2+2 x y+3 x+3 y-10;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
x^2+y^2+2xy+3x+3y-10
Aqui vamos usar a identidade de quadrado perfeito e técnicas de fatoração de trinômio.

Passo 2

Agrupamos os três primeiros termos e reconhecemos um quadrado perfeito:
x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2
Logo podemos reescrever toda a expressão como
x^2+y^2+2xy+3x+3y-10 = (x+y)^2 + 3x + 3y - 10
Para juntar os termos em 3x+3y, note que 3x+3y = 3(x+y). Assim,
(x+y)^2 + 3x + 3y - 10 = (x+y)^2 + 3(x+y) - 10

Passo 3

Definimos uma nova variável auxiliar
t = x + y,
para simplificar a escrita. A expressão fica
t^2 + 3t - 10

Passo 4

Agora fatoramos o trinômio em t. Procuramos dois números cuja soma seja 3 e cujo produto seja -10. Esses números são 5 e -2. Então
t^2 + 3t - 10 = (t + 5)(t - 2)

Passo 5

Voltando a t = x + y, substituímos de volta:
(t + 5)(t - 2) = (x+y+5)(x+y-2)

Resposta

(x+y+5)(x+y-2)

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