Fatore:
(i) x^4-11 x^2 y^2+y^4

Passo 1

O enunciado nos pede para fatorar o polinômio
x^4-11x^2y^2+y^4
Este é um caso de fatoração de um polinômio quártico simétrico em x e y, que podemos ver como um “quadrado” em x^2 e y^2 com termo misto em x^2y^2.

Passo 2

Vamos supor que ele se fatorasse em dois quadráticos simétricos, ou seja,
x^4-11x^2y^2+y^4 =(x^2+A,x,y+y^2)(x^2+B,x,y+y^2)
Por simetria os coeficientes de x^4 e de y^4 são 1, e não há termos em x^3y nem em x,y^3, o que implica A+B=0.

Passo 3

Expandindo o produto genérico:
(x^2+Axy+y^2)(x^2+Bxy+y^2) =x^4+(A+B)x^3y+(2+AB)x^2y^2+(A+B)x,y^3+y^4
Comparando com x^4-11x^2y^2+y^4, obtemos o sistema
A+B=0, 2+AB=-11

Passo 4

Da primeira equação segue B=-A. Substituindo na segunda:
2 - A^2 = -11 Longrightarrow A^2 = 13 Longrightarrow A = pm raiz13
Assim os fatores são
x^2-raiz13,x,y+y^2 e x^2+raiz13,x,y+y^2

Resposta

boxed(x^2-raiz13,x,y+y^2),(x^2+raiz13,x,y+y^2)

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