Fatore o máximo que puder:
4 x^{6}+16 x^{5}-24 x^{4}-x^{2}-4 x+6

Passo 1

O enunciado pede para fatorar ao máximo o polinômio
4x^{6}+16x^{5}-24x^{4}-x^{2}-4x+6.
Informações dadas: os coeficientes são inteiros e o polinómio tem grau 6. A tarefa é decompor esse polinômio em fatores (preferencialmente com coeficientes inteiros/racionais), até onde for possível.

Passo 2

Vou tentar agrupar termos para encontrar um fator comum. Observe os três primeiros termos e os três últimos termos separadamente:
(4x^{6}+16x^{5}-24x^{4}) + (-x^{2}-4x+6).
Agora fatoro o primeiro grupo em comum 4x^{4}:
4x^{4}(x^{2}+4x-6) + (-x^{2}-4x+6).

Passo 3

Note que o segundo grupo é exatamente o negativo de (x^{2}+4x-6), pois
-x^{2}-4x+6 = -(x^{2}+4x-6).
Assim podemos colocar (x^{2}+4x-6) em evidência:
4x^{4}(x^{2}+4x-6) - (x^{2}+4x-6) = (x^{2}+4x-6)\bigl(4x^{4}-1\bigr).
Portanto já temos uma fatoração parcial:
4x^{6}+16x^{5}-24x^{4}-x^{2}-4x+6 = (x^{2}+4x-6)\bigl(4x^{4}-1\bigr).

Passo 4

Agora fatoro \;4x^{4}-1. Reconheço uma diferença de quadrados, pois \;4x^{4}=(2x^{2})^{2} e 1=1^{2}. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=2x^{2} e b=1, obtemos
4x^{4}-1=(2x^{2}-1)(2x^{2}+1).

Passo 5

Substituindo de volta, a fatoração fica
4x^{6}+16x^{5}-24x^{4}-x^{2}-4x+6 = (x^{2}+4x-6)(2x^{2}-1)(2x^{2}+1).

Passo 6

Verifico se algum desses quadráticos pode ser fatorado mais com coeficientes racionais.
  • Para \;x^{2}+4x-6 o discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot 1\cdot(-6)=16+24=40.
Como \sqrt{40}=2\sqrt{10} não é racional, esse quadrático não se fatorará em fatores lineares com coeficientes racionais; é irredutível sobre \mathbb{Q}.
  • Para \;2x^{2}-1 o discriminante é
\Delta = 0^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=8,
logo as raízes são \pm\frac{1}{\sqrt{2}}, irracionais. Assim, \;2x^{2}-1 também é irredutível sobre \mathbb{Q} (mas pode ser escrito em fatores lineares com coeficientes irracionais: (\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)).
  • Para \;2x^{2}+1 o discriminante é
\Delta = 0^{2}-4\cdot 2\cdot 1=-8<0,
portanto não tem raízes reais (irredutível sobre \mathbb{R} em fatores lineares reais).
Assim, a fatoração obtida é máxima se exigirmos coeficientes racionais/integral.

Passo 7

Resumo prático (sem radicais): o polinômio fatorou-se em produto de três quadráticos com coeficientes inteiros:
4x^{6}+16x^{5}-24x^{4}-x^{2}-4x+6 = (x^{2}+4x-6)(2x^{2}-1)(2x^{2}+1).

Resposta

(x^{2}+4x-6)(2x^{2}-1)(2x^{2}+1)

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