Fatore o máximo que puder:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar ao máximo o polinômio
Informações dadas: os coeficientes são inteiros e o polinómio tem grau
. A tarefa é decompor esse polinômio em fatores (preferencialmente com coeficientes inteiros/racionais), até onde for possível.
Passo 2
Vou tentar agrupar termos para encontrar um fator comum. Observe os três primeiros termos e os três últimos termos separadamente:
Agora fatoro o primeiro grupo em comum
:
Passo 3
Note que o segundo grupo é exatamente o negativo de
, pois
Assim podemos colocar
em evidência:
Portanto já temos uma fatoração parcial:
Passo 4
Agora fatoro
. Reconheço uma diferença de quadrados, pois
e
. A fórmula da diferença de quadrados é
Aplicando com
e
, obtemos
Passo 5
Substituindo de volta, a fatoração fica
Passo 6
Verifico se algum desses quadráticos pode ser fatorado mais com coeficientes racionais.
- Para
o discriminante é
Como
não é racional, esse quadrático não se fatorará em fatores lineares com coeficientes racionais; é irredutível sobre
.
- Para
o discriminante é
logo as raízes são
, irracionais. Assim,
também é irredutível sobre
(mas pode ser escrito em fatores lineares com coeficientes irracionais:
).
- Para
o discriminante é
portanto não tem raízes reais (irredutível sobre
em fatores lineares reais).
Assim, a fatoração obtida é máxima se exigirmos coeficientes racionais/integral.
Passo 7
Resumo prático (sem radicais): o polinômio fatorou-se em produto de três quadráticos com coeficientes inteiros: