Fatore os polinômios abaixo em termos das suas raízes (reais ou complexas):
p(x)=x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
p(x)=x^3+1
em termos de suas raízes reais ou complexas. Vamos usar a fórmula da soma de cubos e depois aplicar a fórmula de Bhaskara para a parte quadrática.

Passo 2

Aplicamos a fórmula da soma de cubos
a^3+b^3=(a+b),(a^2-ab+b^2)
com a=x e b=1. Assim,
x^3+1=(x+1)l(x^2-xcdot1+1^2r)=(x+1)(x^2-x+1)

Passo 3

Para obter as raízes complexas, resolvemos a equação quadrática
x^2-x+1=0
O discriminante é
De<a = (-1)^2-4cdot1cdot1 = 1-4 = -3
Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são
x = 1pmraizDe<a2 = 1pmraiz-32 = 1pm iraiz32

Passo 4

Agora escrevemos p(x) como produto de fatores lineares correspondentes às raízes x=-1, x=(1+iraiz3)/2 e x=(1-iraiz3)/2:
p(x) = (x+1)l(x - tfrac1+iraiz32r)l(x - tfrac1 - iraiz32r)

Resposta

p(x) = (x+1)l(x - tfrac1+iraiz32r)l(x - tfrac1 - iraiz32r)

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