Fatore os polinômios.
(x+3)^{2}-9

Passo 1

O enunciado dá o polinômio (x+3)^{2}-9 e pede para fatorá-lo.
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio é (x+3)^{2}-9.
  • O objetivo é escrever esse polinômio como produto de fatores (fatoração).

Passo 2

Vamos expandir (x+3)^{2} para ver a forma polinomial explícita. Lembrando que (a+b)^{2}=(a+b)(a+b) e aplicando a propriedade distributiva (ou FOIL):
(x+3)^{2}=(x+3)(x+3)=x\cdot x + x\cdot 3 + 3\cdot x + 3\cdot 3.
Calculando cada termo:
x\cdot x = x^{2},\quad x\cdot 3 = 3x,\quad 3\cdot x = 3x,\quad 3\cdot 3 = 9.
Somando:
(x+3)^{2}=x^{2}+3x+3x+9=x^{2}+6x+9.

Passo 3

Substituindo na expressão original temos:
(x+3)^{2}-9 = (x^{2}+6x+9)-9 = x^{2}+6x.
Agora precisamos factorar x^{2}+6x. Observa-se que ambos os termos têm um fator comum x. Fatorando por fator comum:
x^{2}+6x = x(x+6).
Explicação do método: fator comum significa retirar o maior monômio que divide todos os termos; aqui x divide x^{2} e 6x.

Passo 4

Apresento também um método alternativo que usa a identidade “diferença de quadrados”, útil para reconhecer padrões rápido na prova. A identidade é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Prova rápida da identidade: expandindo (a-b)(a+b) a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}. No nosso caso, podemos identificar a=x+3 e b=3, pois 9=3^{2}. Aplicando a identidade:
(x+3)^{2}-3^{2}=(x+3-3)(x+3+3).
Simplificando os parênteses:
(x+3-3)(x+3+3)=x(x+6).
Mesmo resultado, só que mais direto quando se reconhece o padrão A^{2}-B^{2}.

Passo 5

Checagem rápida: expandindo x(x+6) obtemos x^{2}+6x, que coincide com a expressão obtida em Passo 3. Portanto a fatoração está correta.

Resposta

x(x+6)

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