Resolva as inequações.
\frac{2}{5} x+1 \leq \frac{1}{5}-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{2}{5}x+1 \leq \frac{1}{5}-2x.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Temos coeficientes fracionários ( \tfrac{2}{5}) e termo constante ( 1 e \tfrac{1}{5}).
  • Queremos todos os valores de x que tornam verdadeira a desigualdade.

Passo 2

Primeira operação: somar 2x em ambos os lados da inequação. Explicação rápida: somar a mesma quantidade aos dois lados preserva a desigualdade (se a\le b então a+c\le b+c). Aplicando,
\frac{2}{5}x+1+2x \leq \frac{1}{5}-2x+2x.
Isso simplifica para
\frac{2}{5}x+2x+1 \leq \frac{1}{5}.

Passo 3

Segunda operação: subtrair 1 em ambos os lados. Explicação: subtrair a mesma quantidade também preserva a desigualdade. Aplicando,
\frac{2}{5}x+2x+1-1 \leq \frac{1}{5}-1,
ou seja
\frac{2}{5}x+2x \leq \frac{1}{5}-1.

Passo 4

Agora vamos somar os termos em x à esquerda e calcular a diferença à direita. Para somar \tfrac{2}{5}x com 2x é conveniente escrever 2x com denominador 5: 2x=\dfrac{10}{5}x. Assim,
\frac{2}{5}x+2x=\frac{2}{5}x+\frac{10}{5}x=\frac{12}{5}x.
À direita, calcular \dfrac{1}{5}-1 escrevendo 1=\dfrac{5}{5}:
\frac{1}{5}-1=\frac{1}{5}-\frac{5}{5}=-\frac{4}{5}.
Portanto a inequação ficou
\frac{12}{5}x \leq -\frac{4}{5}.

Passo 5

Eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por 5. Observação: multiplicar por um número positivo preserva a desigualdade. Multiplicando,
12x \leq -4.

Passo 6

Isolar x dividindo ambos os lados por 12. Dividir por número positivo preserva a desigualdade. Assim,
x \leq -\frac{4}{12}.
Simplificando a fração -\dfrac{4}{12}=-\dfrac{1}{3}, obtemos
x \leq -\frac{1}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (autoconfiança!): escolha x=-1 (que é menor que -\tfrac{1}{3}) e teste na inequação original:
\frac{2}{5}(-1)+1 = -\frac{2}{5}+1=\frac{3}{5}, \qquad \frac{1}{5}-2(-1)=\frac{1}{5}+2=\frac{11}{5},
e \tfrac{3}{5}\le \tfrac{11}{5} é verdadeiro. Escolha x=0 (que não pertence à solução) dá 1\le\tfrac{1}{5}, falso — coerente com a solução encontrada.

Resposta

x \leq -\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados