Resolva as inequações.
\frac{x+2}{3}+\frac{2-3 x}{2}<\frac{4 x}{3}

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\frac{x+2}{3}+\frac{2-3x}{2}<\frac{4x}{3}.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que tornam essa desigualdade verdadeira. Informações relevantes recebidas:
  • Há três termos racionais envolvendo x: \dfrac{x+2}{3}, \dfrac{2-3x}{2} e \dfrac{4x}{3}.
  • A desigualdade é estrita (sinal <), então pontos onde ambos os lados são iguais não pertencem à solução.
  • Não há restrições adicionais sobre x (denominadores são constantes 2 e 3, nunca zero).

Passo 2

Primeiro objetivo prático: somar os dois termos do lado esquerdo para simplificar a inequação. Para somar frações usa-se o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Aqui os denominadores são 3 e 2; o MMC é 6.
Converter cada fração para denominador 6:
\frac{x+2}{3}=\frac{2(x+2)}{6}=\frac{2x+4}{6}, \qquad \frac{2-3x}{2}=\frac{3(2-3x)}{6}=\frac{6-9x}{6}.
Agora somar os numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{2x+4}{6}+\frac{6-9x}{6}=\frac{2x+4+6-9x}{6}=\frac{-7x+10}{6}.
Portanto a desigualdade fica
\frac{-7x+10}{6}<\frac{4x}{3}.

Passo 3

Colocar todos os termos numa única fração facilita. Passo: levar \dfrac{4x}{3} ao mesmo denominador 6:
\frac{4x}{3}=\frac{8x}{6}.
Subtraindo \dfrac{8x}{6} de ambos os lados (ou escrevendo tudo do lado esquerdo) obtemos
\frac{-7x+10}{6}-\frac{8x}{6}<0.
Somando os numeradores:
\frac{-7x+10-8x}{6}=\frac{-15x+10}{6}<0.

Passo 4

Agora temos uma fração menor que zero:
\frac{-15x+10}{6}<0.
Observação importante (regra de inequações): o denominador 6 é positivo, portanto multiplicar ambos os lados por 6 não altera o sentido da desigualdade. Multiplicando por 6:
-15x+10<0.
Isolar x: subtrair 10
-15x< -10.
Dividir por -15. Como se divide por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte:
x> \frac{-10}{-15}.
Simplificando a fração:
x>\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Verificação rápida por pontos (para ganhar confiança): escolher x=1 (que satisfaz x>\tfrac{2}{3}):
\frac{1+2}{3}+\frac{2-3\cdot1}{2}=\frac{3}{3}+\frac{-1}{2}=1-0{,}5=0{,}5, \qquad \frac{4\cdot1}{3}=1{,}333\ldots
De fato 0{,}5<1{,}333\ldots, ok. Testar x=0 (que não satisfaz): já dá falso. Testar x=\tfrac{2}{3} dá igualdade (não aceita pela desigualdade estrita). Tudo consistente.

Resposta

x>\dfrac{2}{3}

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