Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado dá a inequação
O que se pede: encontrar todos os valores de
que tornam essa desigualdade verdadeira. Informações relevantes recebidas:
- Há três termos racionais envolvendo
: , e . - A desigualdade é estrita (sinal
), então pontos onde ambos os lados são iguais não pertencem à solução. - Não há restrições adicionais sobre
(denominadores são constantes e , nunca zero).
Passo 2
Primeiro objetivo prático: somar os dois termos do lado esquerdo para simplificar a inequação. Para somar frações usa-se o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Aqui os denominadores são
e
; o MMC é
.
Converter cada fração para denominador
:
Agora somar os numeradores sobre o mesmo denominador:
Portanto a desigualdade fica
Passo 3
Colocar todos os termos numa única fração facilita. Passo: levar
ao mesmo denominador
:
Subtraindo
de ambos os lados (ou escrevendo tudo do lado esquerdo) obtemos
Somando os numeradores:
Passo 4
Agora temos uma fração menor que zero:
Observação importante (regra de inequações): o denominador
é positivo, portanto multiplicar ambos os lados por
não altera o sentido da desigualdade. Multiplicando por
:
Isolar
: subtrair
Dividir por
. Como se divide por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte:
Simplificando a fração:
Passo 5
Verificação rápida por pontos (para ganhar confiança): escolher
(que satisfaz
):
De fato
, ok. Testar
(que não satisfaz): já dá falso. Testar
dá igualdade (não aceita pela desigualdade estrita). Tudo consistente.