Resolva as inequações.
3(1-2 x)<2(x+1)+x-7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação abaixo, isto é, encontrar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira:
3(1-2x)<2(x+1)+x-7.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão contém parênteses que exigem a propriedade distributiva.
  • Podemos somar termos semelhantes (termos com x e termos constantes).
  • O objetivo é isolar x numa desigualdade equivalente.

Passo 2

Aplicar a propriedade distributiva para eliminar os parênteses. Lembra: a propriedade distributiva diz que a(b+c)=ab+ac. Aqui aplicamos isso em cada parêntese.
3(1-2x)=3\cdot1-3\cdot2x=3-6x.
2(x+1)=2\cdot x+2\cdot1=2x+2.

Passo 3

Substituir as expressões distribuídas na inequação original e somar os termos constantes do lado direito:
3-6x < (2x+2)+x-7.
Agora somamos 2x e x no lado direito, e também 2-7:
3-6x < 3x-5.

Passo 4

Passo para agrupar os termos com x de um lado e os constantes do outro. Uma operação segura é somar 6x em ambos os lados (adicionar o mesmo número aos dois lados preserva a desigualdade):
3-6x+6x < 3x-5+6x
que simplifica para
3 < 9x-5.

Passo 5

Agora isolamos ainda mais as constantes somando 5 em ambos os lados (somar o mesmo número em ambos os lados também preserva a desigualdade):
3+5 < 9x-5+5
que dá
8 < 9x.

Passo 6

Para isolar x dividimos ambos os lados por 9. Como 9 é positivo, a direção da desigualdade não muda (regra importante: multiplicar ou dividir ambos os lados por um número positivo preserva a desigualdade; se fosse negativo, a desigualdade invertia).
Após dividir por 9 obtemos a desigualdade com a variável isolada.

Passo 7

Conferência rápida com valores teste para garantir que o resultado faz sentido:
  • Teste x=1: na inequação original, 3(1-2\cdot1)=3(-1)=-3 e 2(1+1)+1-7=4+1-7=-2. Como -3<-2 é verdadeiro, x=1 satisfaz a inequação.
  • Teste x=0: 3(1-0)=3 e 2(0+1)+0-7=2-7=-5. Como 3<-5 é falso, x=0 não satisfaz a inequação.
    Esses testes são coerentes com a ideia de que a solução contém números maiores que um certo valor (o que será confirmado na resposta final).

Resposta

\;x>\dfrac{8}{9}

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