Fatore os seguintes polinômios, utilizando o método do fator comum em evidência:
x^4-3 x^2+2 x

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^4 - 3x^2 + 2x
usando o método do fator comum em evidência. Isso envolve duas etapas principais: (i) identificar e colocar em evidência o maior fator comum a todos os termos, e (ii) fatorar o polinômio resultante, que pode ser um polinômio de grau menor, recorrendo a raízes racionais e fatoração de quadrática.

Passo 2

Observe os três termos x^4, -3x^2 e 2x. Cada um deles tem pelo menos um fator x. Logo, o maior fator comum é x. Colocando isso em evidência, obtemos
x^4 - 3x^2 + 2x = xl(x^3 - 3x + 2r)

Passo 3

Agora precisamos fatorar o polinômio cúbico
x^3 - 3x + 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos a raízes são os divisores de 2, ou seja, pm1 e pm2. Testando x=1, temos
1^3 - 3cdot1 + 2 = 0,
logo x-1 é fator. Dividindo x^3 - 3x + 2 por x-1 (por exemplo, via soma e produto ou divisão sintética), encontramos o quociente
x^2 + x - 2

Passo 4

Fatoramos a quadrática
x^2 + x - 2
procurando dois números cujo produto seja -2 e cuja soma seja 1. Esses números são 2 e -1. Assim,
x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)

Passo 5

Reunindo todas as partes, a fatoração completa fica
x^4 - 3x^2 + 2x = x,l(x^3 - 3x + 2r) = x,(x-1),(x^2 + x - 2) = x,(x-1),(x+2),(x-1) = x,(x-1)^2,(x+2)

Resposta

A fatoração final é
boxedx,(x-1)^2,(x+2)

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