Fatore utilizando o algoritmo de Briot-Rufini:
(Valor 1,0 ponto) x^3-x^2-5 x-3
2,0

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio de terceiro grau ,x^3-x^2-5x-3 usando o algoritmo de Briot-Ruffini (divisão sintética). Vamos aplicar o Teorema das Raízes Racionais para encontrar uma raiz inteira e depois dividir o polinômio para reduzir ao caso quadrático.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes de
x^3-x^2-5x-3
são os divisores de -3 (termo independente) sobre os divisores de 1 (coeficiente líder), ou seja
pm1,;pm3

Passo 3

Testando x=1:
f(1)=1-1-5-3=-8neq0
Testando x=-1:
f(-1)=(-1)^3-(-1)^2-5(-1)-3=-1-1+5-3=0
Logo, x=-1 é raiz de f(x).

Passo 4

Agora usamos divisão sintética com c=-1. Os coeficientes iniciais são 1,,-1,,-5,,-3. Trazendo 1 e multiplicando por -1, obtemos sequencialmente:
  • 1 cai para a linha de baixo.
  • 1times(-1)=-1; somando a -1 -2.
  • -2times(-1)=2; somando a -5 -3.
  • -3times(-1)=3; somando a -3 0.
O resto zero confirma a raiz, e os coeficientes obtidos 1,,-2,,-3 formam o polinômio quadrático
x^2-2x-3

Passo 5

Fatoramos agora
x^2-2x-3
Buscamos dois números cujo produto seja -3 e cuja soma seja -2. Esses números são -3 e +1, portanto
x^2-2x-3=(x-3)(x+1)

Passo 6

Reunindo tudo, da raiz x=-1 vem o fator (x+1) e da divisão quadrática temos (x-3)(x+1). Assim, a fatoração completa é
x^3-x^2-5x-3=(x+1),(x-3),(x+1)=(x+1)^2(x-3)

Resposta

(x+1)^2(x-3)

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