Fatore:
Passo 1
O enunciado pede que a gente fatorize o polinômio
.
Informações dadas: o polinômio é exatamente . A tarefa é escrever esse polinômio como produto de fatores não triviais (quando possível).
Informações dadas: o polinômio é exatamente
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): o polinômio tem apenas potências pares de
— temos
,
e uma constante. Isso sugere que podemos tratar a expressão como um polinômio em outra variável, por exemplo em
. Trocar a variável às vezes deixa a fatoração muito mais clara.
Passo 3
Façamos a substituição
. Substituindo, o polinômio vira
Agora nosso problema é fatorar
em termos de
. Depois voltamos a substituir
.
Passo 4
Lembrando uma identidade básica: o quadrado de uma soma é
Aqui queremos ver se
se encaixa numa identidade
. Compare com a identidade tomando
e
. Então precisamos de
, ou seja
. Com
obtemos
Portanto
.
Passo 5
Voltando à variável original: como
, substituímos de volta para obter
Isso já é uma fatoração: o polinômio foi escrito como o quadrado de um polinômio de grau 2.
Passo 6
Verificação rápida — expandir para garantir que não houve erro: expandindo
usamos a identidade do passo anterior com
e
:
que coincide com o polinômio original. Então a fatoração está correta.
Passo 7
Comentário extra (opcional, pra prova): se pedirem fatoração em números reais,
é o final, pois
não admite raízes reais (é sempre positiva). Se pedirem fatoração completa em
(números complexos), podemos decompor ainda mais usando as raízes quadráticas:
portanto sobre