Fatore:
x^{4}+4 x^{2}+4

Passo 1

O enunciado pede que a gente fatorize o polinômio \;x^{4}+4x^{2}+4\;.
Informações dadas: o polinômio é exatamente \;x^{4}+4x^{2}+4\;. A tarefa é escrever esse polinômio como produto de fatores não triviais (quando possível).

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): o polinômio tem apenas potências pares de x — temos x^{4}, x^{2} e uma constante. Isso sugere que podemos tratar a expressão como um polinômio em outra variável, por exemplo em \;y=x^{2}\;. Trocar a variável às vezes deixa a fatoração muito mais clara.

Passo 3

Façamos a substituição \;y=x^{2}\;. Substituindo, o polinômio vira
y^{2}+4y+4.
Agora nosso problema é fatorar \;y^{2}+4y+4\; em termos de y. Depois voltamos a substituir y=x^{2}.

Passo 4

Lembrando uma identidade básica: o quadrado de uma soma é
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aqui queremos ver se \;y^{2}+4y+4\; se encaixa numa identidade (y + c)^{2}. Compare com a identidade tomando a=y e 2ab=2y c. Então precisamos de 2c=4, ou seja c=2. Com c=2 obtemos
(y+2)^{2}=y^{2}+4y+4.
Portanto \;y^{2}+4y+4\;=\;(y+2)^{2}.

Passo 5

Voltando à variável original: como \;y=x^{2}\;, substituímos de volta para obter
x^{4}+4x^{2}+4=(x^{2}+2)^{2}.
Isso já é uma fatoração: o polinômio foi escrito como o quadrado de um polinômio de grau 2.

Passo 6

Verificação rápida — expandir para garantir que não houve erro: expandindo (x^{2}+2)^{2} usamos a identidade do passo anterior com a=x^{2} e b=2:
(x^{2}+2)^{2}=x^{4}+2\cdot x^{2}\cdot 2 + 2^{2}=x^{4}+4x^{2}+4,
que coincide com o polinômio original. Então a fatoração está correta.

Passo 7

Comentário extra (opcional, pra prova): se pedirem fatoração em números reais, (x^{2}+2)^{2} é o final, pois x^{2}+2 não admite raízes reais (é sempre positiva). Se pedirem fatoração completa em \mathbb{C} (números complexos), podemos decompor ainda mais usando as raízes quadráticas:
x^{2}+2=(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2}),
portanto sobre \mathbb{C}
x^{4}+4x^{2}+4=(x-i\sqrt{2})^{2}(x+i\sqrt{2})^{2}.

Resposta

(x^{2}+2)^{2}

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