Fatore:
7 x^{2}+29 x+4

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \,7x^{2}+29x+4\, e pede que o fatoríamos (ou seja, escrevê-lo como produto de polinômios de grau menor, preferivelmente com coeficientes inteiros). Informações dadas importantes:
\;a=7,\;b=29,\;c=4.
A pergunta é: qual é a fatoração inteira de \,7x^{2}+29x+4\,?

Passo 2

Vou explicar a ideia que vou usar, passo a passo, de um jeito simples. Se conseguirmos escrever o quadrático como produto de dois binômios:
(px+q)(rx+s),
ao expandir obtemos
pr\,x^{2} + (ps+qr)\,x + qs.
Comparando com ax^{2}+bx+c, temos as relações
pr=a,\quad ps+qr=b,\quad qs=c.
Uma técnica prática é procurar dois números u e v tais que
u+v=b\quad\text{e}\quad u\cdot v = a\cdot c.
Esses u e v serão usados para decompor o termo do meio bx em u x + v x, permitindo fatorar por agrupamento. Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Identifico os coeficientes:
a=7,\qquad b=29,\qquad c=4.
Calculo o produto
a\cdot c = 7\cdot 4 = 28.
Então preciso de dois números inteiros cuja soma seja \,29\, e cujo produto seja \,28\,.

Passo 4

Listei os pares inteiros que multiplicam para 28: (1,28),\;(2,14),\;(4,7) e também os pares negativos. Agora verifico as somas:
1+28=29,\quad 2+14=16,\quad 4+7=11.
O par que dá soma 29 é (1,28). Logo escolhemos u=1 e v=28.

Passo 5

Com esses u e v eu decompongo o termo do meio:
7x^{2}+29x+4 = 7x^{2} + 1x + 28x + 4.
Isso não muda nada, apenas reescreve o mesmo polinômio preparando para fatorar por agrupamento.

Passo 6

Faço agrupamento em pares:
7x^{2} + 1x + 28x + 4 = (7x^{2}+x) + (28x+4).
Agora fatoro o fator comum em cada par:
7x^{2}+x = x(7x+1),
28x+4 = 4(7x+1).
Como ambos os termos têm o fator comum (7x+1), fatoro:
x(7x+1) + 4(7x+1) = (7x+1)(x+4).
Pronto: obtivemos a fatoração com coeficientes inteiros.

Passo 7

Fazendo uma checagem rápida (expansão) para confirmar:
(7x+1)(x+4) = 7x\cdot x + 7x\cdot 4 + 1\cdot x + 1\cdot 4 = 7x^{2}+28x+x+4 = 7x^{2}+29x+4.
Confere certinho. Você fez tudo certo — esse método de decompor o coeficiente do meio é rápido e costuma resolver quadráticos com coeficientes inteiros.

Resposta

(7x+1)(x+4)

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