Faz decomposição campo v para campo potencial e campo solenoidal v=vp+vs e acha escalar phi e vectorial A potenciais:
v=103 x^3 imath+x^2 y jmath+x^2 z k

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente fazer a decomposição de Helmholtz num campo vetorial

em duas partes:
  1. um campo potencial (irrotacional) ,
  2. um campo solenoidal (sem divergência) .
    O que precisamos usar:
  • Divergência e gradiente,
  • Equação de Poisson ,
  • Condição (gauge de Coulomb) e
  • Resolver .

Passo 2

Primeiro a teoria do potencial escalar:
  • Um campo irrotacional satisfaz , logo .
  • Como e , aplicamos divergência em ambos os lados:
    .
    Isso é uma Poisson simples pra achar .

Passo 3

Calcular a divergência de nablacdotvec v =partialpartial xl(tfrac103x^3r) +partialpartial y(x^2y) +partialpartial z(x^2z) =10x^2 + x^2 + x^2 = 12,x^2 :

Passo 4

Então resolvemos
phi(x,y,z) = x^4,
Como , basta achar uma que só dependa de e tal que
.
Uma escolha óbvia é
porque e as derivadas em somam zero.

Passo 5

Aí o campo potencial é
vec vp = nablaphi = l(4x^3,,0,,0r) =4x^3,vecimath
E o campo solenoidal é
vec vs = vec v - vec vp =l(tfrac103x^3 - 4x^3,;x^2y,;x^2zr) =l(-tfrac23x^3,;x^2y,;x^2zr)
(Confere que .)

Passo 6

Agora a teoria do potencial vetorial:
  • Queremos e impomos .
  • Escrevemos e escolhemos, pra simplificar, .
    As equações viram:
    1. ,
    2. ,
    3. .
  • Como , da eq. (3) vem
    .
  • Da eq. (2): .
  • Plugando na eq. (1) dá condição , que a gente resolve pegando .
  • Por fim, é satisfeito automaticamente com essa escolha.

Resposta

boxed phi(x,y,z)=x^4, vec A(x,y,z) =l(0,;tfrac13x^3z,;-tfrac13x^3yr)

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