Faz decomposição campo
para campo potencial e campo solenoidal
e acha escalar
e vectorial
potenciais:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente fazer a decomposição de Helmholtz num campo vetorial
em duas partes:
em duas partes:
- um campo potencial (irrotacional)
, - um campo solenoidal (sem divergência)
.
O que precisamos usar:
- Divergência e gradiente,
- Equação de Poisson
, - Condição
(gauge de Coulomb) e - Resolver
.
Passo 2
Primeiro a teoria do potencial escalar:
- Um campo
irrotacional satisfaz , logo . - Como
e , aplicamos divergência em ambos os lados:
.
Isso é uma Poisson simples pra achar.
Passo 3
Calcular a divergência de
:
Passo 4
Então resolvemos
Como , basta achar uma
que só dependa de
e tal que
.
Uma escolha óbvia é
Como
Uma escolha óbvia é
porque
e as derivadas em
somam zero.
Passo 5
Aí o campo potencial é
E o campo solenoidal é
(Confere que
.)
Passo 6
Agora a teoria do potencial vetorial:
- Queremos
e impomos . - Escrevemos
e escolhemos, pra simplificar, .
As equações viram:-
, -
, -
.
-
- Como
, da eq. (3) vem
⇒ . - Da eq. (2):
⇒ . - Plugando na eq. (1) dá condição
, que a gente resolve pegando . - Por fim,
é satisfeito automaticamente com essa escolha.