Considere os seguintes pontos (-2,2),(-1,3),(0,5),(1,7) e (2,11).
Determine o polinômio na forma de Newton que interpola esses pontos.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar o polinômio interpolador no formato de Newton que passa pelos pontos
.
Isso é um assunto de Interpolação Polinomial e, mais especificamente, vamos usar as diferenças divididas de Newton.
O que precisamos saber:
  1. Como montar a tabela de diferenças divididas.
  2. Como montar o polinômio de Newton a partir dessas diferenças.

Passo 2

Primeiro, anotamos os pontos na tabela nas colunas c|c x & f[x] hline -2 & 2 -1 & 3 0 & 5 1 & 7 2 & 11 e :
Aqui é só o valor . Agora vamos calcular as diferenças divididas de ordem crescente.

Passo 3

Diferenças divididas de primeira ordem:
f[x0,x1]=3-2-1-(-2)=1, f[x1,x2]=5-30-(-1)=2, f[x2,x3]=7-51-0=2, f[x3,x4]=11-72-1=4

Passo 4

Diferenças divididas de segunda ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]0-(-2) =2-12 =tfrac12,
f[x1,x2,x3] =2-21-(-1)=0, f[x2,x3,x4] =4-22-0=1

Passo 5

Diferenças divididas de terceira ordem:
f[x0,x1,x2,x3] =0-tfrac121-(-2) =-12cdot13 =-16,
f[x1,x2,x3,x4] =1-02-(-1)=13

Passo 6

Diferença dividida de quarta ordem:
f[x0,x1,x2,x3,x4] =tfrac13-(-tfrac16)2-(-2) =tfrac124 =18

Passo 7

Agora montamos o polinômio de Newton padrão:
P(x)=f[x0] +f[x0,x1](x-x0) +f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2) +f[x0,dots,x4](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)
Substituindo P(x) =2 +1,(x+2) +tfrac12,(x+2)(x+1) -tfrac16,(x+2)(x+1)x +tfrac18,(x+2)(x+1)x(x-1) e cada diferença dividida, fica:

Resposta

boxedP(x)=2 + (x+2) + 12(x+2)(x+1) - 16(x+2)(x+1)x + 18(x+2)(x+1)x(x-1)

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