Considere a função tabelada
x 1 3 4 5
g(x) 0 6 24 60
Calcule o valor aproximado de g(1,2) e g(4,25) por um polinômio de grau 2. Dê uma estimativa para o erro em cada aproximação.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede. Temos uma função “tabelada” com valores em x=1,3,4,5 e queremos aproximar g(1,2) e g(4,25) usando um polinômio de grau 2 (ou seja, interpolar com 3 pontos). Além disso, precisamos dar uma estimativa de erro em cada aproximação.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange ou sistema linear) e termo de resto (erro) da interpolação de grau 2.

Passo 2

Interpolando em torno de x=1,2 (vamos escrever 1,2 como 1.2). Escolho os pontos mais próximos: x₀=1, x₁=3, x₂=4, com g(1)=0, g(3)=6, g(4)=24.
Suponho um polinômio
p(x)=ax^2+bx+c
e monto o sistema:
1) em x=1: acdot1^2 + bcdot1 + c =0
2) em x=3: acdot9 + bcdot3 + c =6
3) em x=4: acdot16 + bcdot4 + c =24

Passo 3

Resolvendo
  • Da equação (2)–(1): 8a+2b=6;Rightarrow;4a+b=3;Rightarrow;b=3-4a.
  • Da (3)–(2): 7a+b=18;Rightarrow;b=18-7a.
    Igualando as duas expressões de b:
3-4a=18-7aRightarrow3a=15Rightarrow;a=5,
b=3-4cdot5=-17,
e de (1): 5+(-17)+c=0;Rightarrow;c=12.
Logo
p(x)=5x^2-17x+12

Passo 4

Agora avalio em x=1.2:
p(1.2)=5,(1.2)^2-17,(1.2)+12 =5cdot1.44 -20.4+12 =7.2-20.4+12 =-1.2

Passo 5

Estimando o erro usando o resto de Lagrange de grau 2. Se a função real for suave com terceira derivada contínua,
R2(x)=g^(3)(xi)3!(x-1)(x-3)(x-4)
Aqui, pela tabela, na verdade g(x)=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2ximplies g^(3)(x)=6 sempre. Então
R2(x)=66(x-1)(x-3)(x-4)=(x-1)(x-3)(x-4)
Em x=1.2:
R2(1.2)=(1.2-1)(1.2-3)(1.2-4)=0.2cdot(-1.8)cdot(-2.8)=1.008
Ou seja, o erro é cerca de pm1.008.

Passo 6

Agora para x=4.25 escolho os três pontos vizinhos: x₀=3, x₁=4, x₂=5 com g(3)=6, g(4)=24, g(5)=60. Faço de novo
q(x)=dx^2+ex+f,
sujeito a
1) 9d+3e+f=6,
2) 16d+4e+f=24,
3) 25d+5e+f=60.
Subtraindo:
- (2)–(1): 7d+e=18implies e=18-7d,
- (3)–(2): 9d+e=36implies e=36-9d.
Igualando: 18-7d=36-9d;Rightarrow;2d=18;Rightarrow;d=9,
e=18-7cdot9=-45, f;da 1);;81-135+f=6;Rightarrow;f=60
Então
q(x)=9x^2-45x+60

Passo 7

Avalio em x=4.25:
q(4.25)=9,(4.25)^2-45,(4.25)+60 =9cdot18.0625 -191.25+60 =162.5625-191.25+60 =31.3125
Erro: o resto é
R2(x)=(x-3)(x-4)(x-5)
Em x=4.25:
$$(4.25-3)(4.25-4)(4.25-5)
=1.25\cdot0.25\cdot(-0.75)
=-0.234375.$$
Ou seja, erro de aproximadamente (4.25-3)(4.25-4)(4.25-5) =1.25cdot0.25cdot(-0.75) =-0.234375 em módulo.

Resposta

g(1.2) ≈ –1.2 com erro ≈ ±1.008
g(4.25) ≈ 31.3125 com erro ≈ ±0.2344

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