Considere a função tabelada
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1 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
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0 | 6 | 24 | 60 |
Calcule o valor aproximado de
e
por um polinômio de grau 2. Dê uma estimativa para o erro em cada aproximação.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede. Temos uma função “tabelada” com valores em x=1,3,4,5 e queremos aproximar g(1,2) e g(4,25) usando um polinômio de grau 2 (ou seja, interpolar com 3 pontos). Além disso, precisamos dar uma estimativa de erro em cada aproximação.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange ou sistema linear) e termo de resto (erro) da interpolação de grau 2.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange ou sistema linear) e termo de resto (erro) da interpolação de grau 2.
Passo 2
Interpolando em torno de x=1,2 (vamos escrever 1,2 como 1.2). Escolho os pontos mais próximos: x₀=1, x₁=3, x₂=4, com g(1)=0, g(3)=6, g(4)=24.
Suponho um polinômio
Suponho um polinômio
e monto o sistema:
1) em x=1:
2) em x=3:
3) em x=4:
Passo 3
Resolvendo
- Da equação (2)–(1):
. - Da (3)–(2):
.
Igualando as duas expressões de b:
e de (1):
Logo
Passo 4
Agora avalio em
:
Passo 5
Estimando o erro usando o resto de Lagrange de grau 2. Se a função real for suave com terceira derivada contínua,
Aqui, pela tabela, na verdade
Em
:
Ou seja, o erro é cerca de
Passo 6
Agora para
escolho os três pontos vizinhos: x₀=3, x₁=4, x₂=5 com g(3)=6, g(4)=24, g(5)=60. Faço de novo
sujeito a
1)
2)
3)
Subtraindo:
- (2)–(1):
- (3)–(2):
Igualando:
Então
Passo 7
Avalio em
:
Erro: o resto é
Em
$$(4.25-3)(4.25-4)(4.25-5)
=1.25\cdot0.25\cdot(-0.75)
=-0.234375.$$
Ou seja, erro de aproximadamente em módulo.
Ou seja, erro de aproximadamente
Resposta
g(1.2) ≈ –1.2 com erro ≈ ±1.008
g(4.25) ≈ 31.3125 com erro ≈ ±0.2344
g(4.25) ≈ 31.3125 com erro ≈ ±0.2344