Um fazendeiro deseja fazer um galinheiro retangular encostado em um muro com um orçamento de R$800,00 . O material da cerca do lado paralelo ao muro custa
5,00
R $ 10,00
\mathrm{R} $800,00$ ?
A
B
e 40 m
c
e 30 m
D
e 20 m
E
c
Passo 1
O enunciado pede que a gente maximize a área de um galinheiro retangular encostado num muro, sabendo que só precisamos cercar três lados: dois lados de largura (que chamaremos de x) e um lado de comprimento (chamado de y). O material do lado paralelo ao muro custa R
10,00/m, tudo com orçamento de R$ 800,00. Aqui o conteúdo é otimização de função com restrição de custo.
Passo 2
Definimos as variáveis:
– x = largura (em metros) dos dois lados perpendiculares ao muro
– y = comprimento (em metros) do lado paralelo ao muro
A restrição de custo é
– x = largura (em metros) dos dois lados perpendiculares ao muro
– y = comprimento (em metros) do lado paralelo ao muro
A restrição de custo é
pois y custa R
10,00/m em dois lados.
Passo 3
Da restrição, isolamos y:
A área do galinheiro é
Passo 4
Para encontrar o máximo de A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Substituindo em y = 160 - 4x temos
Confirmamos que A’’(x) = -8 < 0, logo é máximo.
Passo 6
Portanto, as dimensões que maximizam a área são 20 m, 80 m e 20 m, correspondendo à alternativa D.
Resposta
20 m, 80 m e 20 m (alternativa D)