Um fazendeiro deseja fazer um galinheiro retangular encostado em um muro com um orçamento de R$800,00 . O material da cerca do lado paralelo ao muro custa 5,00 R $ 10,00 ãõáí\mathrm{R} $800,00$ ?
A
B e 40 m
c e 30 m
D e 20 m
E

Passo 1

O enunciado pede que a gente maximize a área de um galinheiro retangular encostado num muro, sabendo que só precisamos cercar três lados: dois lados de largura (que chamaremos de x) e um lado de comprimento (chamado de y). O material do lado paralelo ao muro custa R 5,00/m e o material dos dois lados de largura custa R 10,00/m, tudo com orçamento de R$ 800,00. Aqui o conteúdo é otimização de função com restrição de custo.

Passo 2

Definimos as variáveis:
– x = largura (em metros) dos dois lados perpendiculares ao muro
– y = comprimento (em metros) do lado paralelo ao muro
A restrição de custo é
5y + 10cdot 2x = 800
pois y custa R 5,00/m e cada x custa R 10,00/m em dois lados.

Passo 3

Da restrição, isolamos y:
5y + 20x = 800
y = 800 - 20x5 = 160 - 4x
A área do galinheiro é
A(x) = x cdot y = x(160 - 4x) = 160x - 4x^2

Passo 4

Para encontrar o máximo de A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 160 - 8x
160 - 8x = 0 implies x = 20,m

Passo 5

Substituindo em y = 160 - 4x temos
y = 160 - 4cdot20 = 160 - 80 = 80,m
Confirmamos que A’’(x) = -8 < 0, logo é máximo.

Passo 6

Portanto, as dimensões que maximizam a área são 20 m, 80 m e 20 m, correspondendo à alternativa D.

Resposta

20 m, 80 m e 20 m (alternativa D)

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