I. (valor 4,0 pontos) Determine e classifique os pontos criticos da funçio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Precisamos achar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver cada equação separadamente.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, temos os seguintes pontos críticos:
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais.
Primeira, calculemos as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 6
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Com os valores de
, podemos classificar os pontos:
- Se
e : ponto de máximo relativo. - Se
e : ponto de mínimo relativo. - Se
: ponto de sela.
Aplicando isso:
-
: → Ponto de sela. -
: e → Ponto de máximo relativo. -
: e → Ponto de mínimo relativo. -
: → Ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
-
: ponto de sela. -
: ponto de máximo relativo. -
: ponto de mínimo relativo. -
: ponto de sela.