I. (valor 4,0 pontos) Determine e classifique os pontos criticos da funçio
f(x, y)=-4 x^33+y^33+16 x-9 y-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x, y)=-4 x^33+y^33+16 x-9 y-1
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Precisamos achar onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y .
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx = ddx(-4 x^33 + y^33 + 16 x - 9 y - 1) = -4x^2 + 16
E a derivada parcial de f em relação a y é:
fy = ddy(-4 x^33 + y^33 + 16 x - 9 y - 1) = y^2 - 9

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
-4x^2 + 16 = 0 y^2 - 9 = 0
Vamos resolver cada equação separadamente.
Para a primeira equação:
-4x^2 + 16 = 0 implies -4x^2 = -16 implies x^2 = 4 implies x = pm 2
Para a segunda equação:
y^2 - 9 = 0 implies y^2 = 9 implies y = pm 3

Passo 4

Com os valores de x e y encontrados, temos os seguintes pontos críticos:
(2, 3), (2, -3), (-2, 3), (-2, -3)

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais.
Primeira, calculemos as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx = ddx(-4x^2 + 16) = -8x
fyy = ddy(y^2 - 9) = 2y
fxy = ddy(-4x^2 + 16) = 0

Passo 6

O determinante da matriz Hessiana é dado por:
D = fxx fyy - (fxy)^2
Vamos calcular D para cada ponto crítico.
  1. Para (2, 3) :
fxx = -8(2) = -16
fyy = 2(3) = 6
D = (-16)(6) - 0^2 = -96
  1. Para (2, -3) :
fxx = -8(2) = -16
fyy = 2(-3) = -6
D = (-16)(-6) - 0^2 = 96
  1. Para (-2, 3) :
fxx = -8(-2) = 16
fyy = 2(3) = 6
D = (16)(6) - 0^2 = 96
  1. Para (-2, -3) :
fxx = -8(-2) = 16
fyy = 2(-3) = -6
D = (16)(-6) - 0^2 = -96

Passo 7

Com os valores de D , podemos classificar os pontos:
  • Se D > 0 e fxx < 0 : ponto de máximo relativo.
  • Se D > 0 e fxx > 0 : ponto de mínimo relativo.
  • Se D < 0 : ponto de sela.
Aplicando isso:
  1. (2, 3) : D = -96 < 0 → Ponto de sela.
  2. (2, -3) : D = 96 > 0 e fxx = -16 < 0 → Ponto de máximo relativo.
  3. (-2, 3) : D = 96 > 0 e fxx = 16 > 0 → Ponto de mínimo relativo.
  4. (-2, -3) : D = -96 < 0 → Ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
  • (2, 3) : ponto de sela.
  • (2, -3) : ponto de máximo relativo.
  • (-2, 3) : ponto de mínimo relativo.
  • (-2, -3) : ponto de sela.

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