Questão 1. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^1 integral-y^y f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
integral0^1integral-y^yf(x,y),dx,dy
sobre a região
R=(x,y)mid 0<= y<=1,,-y<= x<= y
e pede para esboçar R e trocar a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas, projetando R primeiro num eixo e depois no outro.

Passo 2

Vamos entender e esboçar R. As fronteiras são:
– em y, de 0 até 1;
– para cada y, em x de -y (linha x=-y) até y (linha x=y).
Isso desenha um triângulo isósceles com vértices em (0,0), (1,1) e (-1,1). A base superior está em y=1, indo de x=-1 a x=1, e o vértice inferior em (0,0).

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo x:
x atinge todos os valores de -1 até 1.
Para cada x fixo, y varia do limite inferior dado por y=|x| (pois as duas retas y=x e y=-x viram y=|x|) até o teto y=1.
Logo, trocando a ordem, a integral fica
integralx=-1^1integraly=|x|^1f(x,y),dy,dx

Resposta

integral-1^1integral|x|^1f(x,y),dy,dx

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