Questão 1. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
sobre a região
e pede para esboçar
e trocar a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas, projetando
primeiro num eixo e depois no outro.
Passo 2
Vamos entender e esboçar
. As fronteiras são:
– em , de
até
;
– para cada , em
de
(linha
) até
(linha
).
Isso desenha um triângulo isósceles com vértices em ,
e
. A base superior está em
, indo de
a
, e o vértice inferior em
.
– em
– para cada
Isso desenha um triângulo isósceles com vértices em
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
:
– atinge todos os valores de
até
.
Para cada fixo,
varia do limite inferior dado por
(pois as duas retas
e
viram
) até o teto
.
Logo, trocando a ordem, a integral fica
–
Para cada
Logo, trocando a ordem, a integral fica