Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de R^3 (Justifique cada item):
alpha=(l1 1 1),(l0 0 0),(l3 0 1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
alpha = l,(1,1,1)^T,,(0,0,0)^T,,(3,0,1)^Tr
é uma base de R^3. Para isso precisamos checar se ele tem exatamente três vetores, se gera R^3 e se é linearmente independente.

Passo 2

Uma condição necessária para um conjunto ser base é ser linearmente independente. Mas qualquer conjunto que contenha o vetor zero
,(0,0,0)^T
é automaticamente linearmente dependente, pois podemos escrever
1cdot(0,0,0)^T + 0cdot(1,1,1)^T + 0cdot(3,0,1)^T = (0,0,0)^T
com coeficiente 1 não nulo, o que é uma combinação linear não trivial igual a zero.

Passo 3

Como alpha falha na independência linear, ela não pode ser base de R^3 (mesmo tendo três vetores, falta independência).

Resposta

alpha NÃO é base de R^3.

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