Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de R^3 (Justifique cada item):
lambda=(l1 1 1),(l1 2 3),(l3 0 1),(l0 1 2)

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos verificar se a família lambda=v1,v2,v3,v4 com
v1=111, v2=123, v3=301, v4=012
é uma base de R^3. Para isso, vamos usar o fato de que uma base de R^3 deve ser composta por exatamente três vetores linearmente independentes que geram R^3.

Passo 2

Observamos que lambda tem quatro vetores em R^3. Como o espaço tem dimensão 3, qualquer conjunto com mais de três vetores será necessariamente linearmente dependente. Ainda assim, basta exibir uma relação de dependência não trivial para confirmar.

Passo 3

Note que
v2 - v1 = 123 - 111 = 012 = v4
Isso mostra que
v2 - v1 - v4 = 0
é uma combinação linear não trivial dos vetores de lambda, portanto eles são linearmente dependentes.

Passo 4

Como lambda é linearmente dependente, ela não pode ser uma base de R^3.

Resposta

A família lambda não é base de R^3 porque seus vetores são linearmente dependentes.

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