Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de (Justifique cada item):
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos verificar se a família lambda=v1,v2,v3,v4 com
v1=111, v2=123, v3=301, v4=012
é uma base de R^3. Para isso, vamos usar o fato de que uma base de R^3 deve ser composta por exatamente três vetores linearmente independentes que geram R^3.
Passo 2
Observamos que lambda tem quatro vetores em R^3. Como o espaço tem dimensão 3, qualquer conjunto com mais de três vetores será necessariamente linearmente dependente. Ainda assim, basta exibir uma relação de dependência não trivial para confirmar.
Passo 3
Note que
v2 - v1 = 123 - 111 = 012 = v4
Isso mostra que
v2 - v1 - v4 = 0
é uma combinação linear não trivial dos vetores de lambda, portanto eles são linearmente dependentes.
Passo 4
Como lambda é linearmente dependente, ela não pode ser uma base de R^3.
Resposta
A família lambda não é base de R^3 porque seus vetores são linearmente dependentes.